Giải bài 16 Ôn tập cuối năm.
a) Ta có: \(f(x) = \sin^3 2x\)
\(⇒ f’(x) = 3\sin^2\,2x (\sin\,2x)’ = 6\sin^2\,2x \cos\,2x\)
Do đó:
\(f'(x) = g(x) \Leftrightarrow 6sin^2\,2x\cos\,2x = 4\cos\,2x - 5\sin\,4x \)
\(\Leftrightarrow 6sin^2\,2x\cos\,2x = 4\cos\,2x - 10\sin\,2x\cos\,2x \)
\(\Leftrightarrow 6sin^2\,2x\cos\,2x - 4\cos\,2x + 10\sin\,2x\cos\,2x =0\)
\(\Leftrightarrow 2\cos\,2x(3\sin ^2\,2x + 5\sin\,2x - 2) = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{\cos 2x = 0\,(1) \hfill \cr 3{\sin ^2}2x + 5\sin 2x - 2 = 0\,(2) \hfill \cr} \right. \)
Giải phương trình (1) ta được:
\(2x = {\pi \over 2} + k\pi (k \in \mathbb Z) \Leftrightarrow x = {\pi \over 4} + {{k\pi } \over 2} (k \in \mathbb Z)\)
Giải phương trình (2) ta được:
\(\left[ \matrix{sin 2x = -2 (loại) \hfill \cr \sin 2x = {1 \over 3} \hfill \cr} \right.\)
\(\sin 2x = {1 \over 3} \Leftrightarrow \left[ \matrix{2x = \arcsin ({1 \over 3}) + k2\pi \hfill \cr 2x = \pi - \arcsin ({1 \over 3}) + k2\pi \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{x = {1 \over 2}\arcsin ({1 \over 3}) + {k\pi } \hfill \cr x = {\pi \over 2} - {1 \over 2}\arcsin ({1 \over 2}) + {k\pi } \hfill \cr} \right.;k \in \mathbb Z \)
Vậy phương trình có nghiệm là:
\(\left[ \matrix{x = {\pi \over 4} + {{k\pi } \over 2} \hfill \cr x = {1 \over 2}\arcsin ({1 \over 3}) + {k\pi } \hfill \cr x = {\pi \over 2} - {1 \over 2}\arcsin ({1 \over 2}) + {k\pi } \hfill \cr} \right.;k \in \mathbb Z\)
b) Ta có: \(f’(x) = -60sin \,3x - 60 sin \,5x + 60 sin\,4x\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow - \sin \,3x - \sin\, 5x + \sin \,4x = 0 \)
\(\Leftrightarrow \sin \,5x + \sin \,3x - \sin\, 4x=0 \)
\(\Leftrightarrow 2\sin \,4x{\mathop{\rm cos\,x}\nolimits} - sin\,4x = 0 \)
\(\Leftrightarrow sin\,4x(2cos\,x - 1) = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{\sin \,4x = 0 \hfill \cr {\mathop{\rm cos\,x}\nolimits} = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{4x = k\pi \hfill \cr x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{x = k{\pi \over 4} \hfill \cr x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi \hfill \cr} \right.;k \in\mathbb Z \)
Vậy phương trình có nghiệm là \(\left[ \matrix{x = k{\pi \over 4} \hfill \cr x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi \hfill \cr} \right.;k \in\mathbb Z \)