Giải bài 16 Ôn tập cuối năm

Giải bài 16 Ôn tập cuối năm.

a) Ta có: $f(x)={\sin }^{3}2x$ 

$\Rightarrow f^{\prime }(x)=3{\sin }^{2}2x(\sin 2x{)}^{\prime }=6{\sin }^{2}2x\cos 2x$

Do đó:

$f^{\prime }(x)=g(x)\iff 6si{n}^{2}2x\cos 2x=4\cos 2x-5\sin 4x$

$\iff 6si{n}^{2}2x\cos 2x=4\cos 2x-10\sin 2x\cos 2x$

$\iff 6si{n}^{2}2x\cos 2x-4\cos 2x+10\sin 2x\cos 2x=0$

$\iff 2\cos 2x(3{\sin }^{2}2x+5\sin 2x-2)=0$

$\iff [\begin{array}{c}\cos 2x=0(1)\hfill \\ 3{\sin }^{2}2x+5\sin 2x-2=0(2)\hfill \end{array}$

Giải phương trình (1) ta được:

$2x=\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})\iff x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$

Giải phương trình (2) ta được:

$[\begin{array}{c}sin2x=-2(loại)\hfill \\ \sin 2x=\frac{1}{3}\hfill \end{array}$

$\sin 2x=\frac{1}{3}\iff [\begin{array}{c}2x=\arcsin (\frac{1}{3})+k2\pi \hfill \\ 2x=\pi -\arcsin (\frac{1}{3})+k2\pi \hfill \end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}x=\frac{1}{2}\arcsin (\frac{1}{3})+k\pi \hfill \\ x=\frac{\pi }{2}-\frac{1}{2}\arcsin (\frac{1}{2})+k\pi \hfill \end{array};k\in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình có nghiệm là:

$[\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\hfill \\ x=\frac{1}{2}\arcsin (\frac{1}{3})+k\pi \hfill \\ x=\frac{\pi }{2}-\frac{1}{2}\arcsin (\frac{1}{2})+k\pi \hfill \end{array};k\in \mathbb{Z}$

b) Ta có: $f^{\prime }(x)=-60sin3x-60sin5x+60sin4x$

$f^{\prime }(x)=0\iff -\sin 3x-\sin 5x+\sin 4x=0$

$\iff \sin 5x+\sin 3x-\sin 4x=0$

$\iff 2\sin 4x\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}-sin4x=0$

$\iff sin4x(2cosx-1)=0$

$\iff [\begin{array}{c}\sin 4x=0\hfill \\ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}=\frac{1}{2}\hfill \end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}4x=k\pi \hfill \\ x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \hfill \end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}x=k\frac{\pi }{4}\hfill \\ x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \hfill \end{array};k\in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình có nghiệm là $[\begin{array}{c}x=k\frac{\pi }{4}\hfill \\ x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \hfill \end{array};k\in \mathbb{Z}$