Chứng minh hệ thức hình học

Chứng minh hệ thức hình học.

4. Gọi độ dài cạnh của hình vuông là AD = DC = a > 0

a, Xét tam giác ADI và tam giác CDL có:

• $\hat{A}=\hat{C}={90}^0$
• AD = CD = a
• $\widehat{D_1}=\widehat{D_3}$ (cùng phụ với $\widehat{D_2}$

=> $\mathrm{\Delta }$ADI = $\mathrm{\Delta }$CDL (g.c.g) => DI = DL

Vậy tam giác DIL cân tại D

b, Áp dụng hệ thức về đường cao cho tam giác DKL vuông tại D ta có:

$\frac{1}{D{C}^2}=\frac{1}{D{L}^2}+\frac{1}{D{K}^2}$

<=> $\frac{1}{a^2}=\frac{1}{D{I}^2}+\frac{1}{D{K}^2}$

Vì a không đổi nên $\frac{1}{a^2}$ không đổi

=> $\frac{1}{D{I}^2}+\frac{1}{D{K}^2}$ không đổi => Đpcm

5. 

Áp dụng hệ thức về cạnh cho tam giác ABC vuông tại A, ta được

$A{C}^2=CH.CB$ (1)

$A{B}^2=BH.CB$ (2)

Chia (1) cho (2) theo từng vế, thu được:

$\frac{CH}{BH}=\frac{A{C}^2}{A{B}^2}$  (3)

a, Áp dụng hệ thức về cạnh vào tam giác AHC và AHB vuông tại H, ta được:

$C{H}^2=CE.CA$ (4)

$B{H}^2=BD.AB$ (5)

Chia (4) cho (5) theo từng vế, ta được:

$\frac{CE}{BD}=\frac{C{H}^2}{B{H}^2}.\frac{AB}{CA}$ (6)

Thế (3)vào (6) ta có:  $\frac{CE}{BD}=(\frac{CA}{AB}{)}^3$ (đpcm)

b, Nhân (4) với (5) theo từng vế, ta được:

$(BH.CH{)}^2=BD.CE.BA.CA$ (7)

Lại có $A{H}^2=BH.CH$ (8); AH.BC = BA.CA (9)

Thay (8) và (9) vào (7) thu được:

$A{H}^4=BD.CE.AH.BC$ <=> $A{H}^3=BD.CE.BC$

c, Từ (4) và (5) suy ra:

$C{H}^2.C{B}^2=CE.CA.B{C}^2$ <=> $C{A}^4=CE.CA.B{C}^2$ <=> CE = $\frac{C{A}^3}{B{C}^2}$

$B{H}^2.B{C}^2=BD.BA.B{C}^2$ <=> $B{A}^4=BD.BA.B{C}^2$ <=> BD = $\frac{B{A}^3}{B{C}^2}$

=> $C{E}^2=\frac{C{A}^6}{B{C}^4}$ (10) và $B{D}^2=\frac{B{A}^6}{B{C}^4}$ (11) 

Nên $B{D}^2+C{E}^2$ = $\frac{B{A}^6+C{A}^6}{B{C}^4}$

= $\frac{(B{A}^2+C{A}^2{)}^3-3B{A}^2.C{A}^2.(B{A}^2+C{A}^2)}{B{C}^4}$

= $\frac{B{C}^6-3B{C}^4.A{H}^2}{B{C}^4}$ = $B{C}^2-3A{H}^2$

Vậy 3AH${}^2$ + BD${}^2$ + CE${}^2$ = BC${}^2$ (đpcm)

d, Từ (10) và (11) suy ra:

$C{A}^6=C{E}^2.B{C}^4$ và $B{A}^6=C{E}^2.B{C}^4$ 

=> $C{A}^2=\sqrt[3]{C{E}^2.B{C}^4}$ và $B{A}^2=\sqrt[3]{B{D}^2.B{C}^4}$

Do đó $B{C}^2=C{A}^2+B{A}^2=\sqrt[3]{C{E}^2.B{C}^4}+\sqrt[3]{B{D}^2.B{C}^4}$ = $\sqrt[3]{B{C}^6}$ (12)

Chia cả hai vế của (12) cho $\sqrt[3]{B{C}^4}$ > 0 ta được:

$\sqrt[3]{B{D}^2}+\sqrt[3]{C{E}^2}=\sqrt[3]{B{C}^2}$ (đpcm)