Cho tứ giác và các giả thiết chứng minh các điểm cùng nằm trên một đường tròn.
3.
a, Vì tam giác vuông ABC và ADC có chung cạnh huyền AC nên hai đỉnh góc vuông B, D nằm trên đường tròn đường kính BC.
Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
b, Nếu AC = BD thì BD là một đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD nên $\widehat{A}=90^{0}$.
Vậy tứ giác ABCD là hình chữ nhật (vì tứ giác có 3 góc vuông).
4. Gọi I là giao điểm của AC và BD.
Do AC $\perp $ BD nên $\widehat{I}=\widehat{I_{1}}+\widehat{I_{2}}=90^{0}$
Vì M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA nên MN, NP, PQ, QM là đường trung bình của tam giác BAC, CBD, ABD => MN // AC // PQ; MQ // BD // NP nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Lại có: $\left\{\begin{matrix}\widehat{I_{1}}=\widehat{N_{1}} & & \\ \widehat{I_{2}}=\widehat{N_{2}} & & \end{matrix}\right.$ (so le trong)
=> $\widehat{N}=\widehat{I}=90^{0}$
Do đó MNPQ là hình chữ nhật.
Hai tam giác vuông MNP và MQP có chung cạnh huyền MP nên hai đỉnh góc vuông N, Q nằm trên đường tròn đường kính MP.
Vậy 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.