Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A.

a)Xét tam giác AMC và tam giác DMB có:

MA = MD (gt)

MB = MC (M là trung điểm của BC)

$\hat{A M C} = \hat{D M B}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, $Δ A M C = Δ D M B$ (c . g . c).

Suy ra $\hat{D B M} = \hat{A C M}$ (hai góc tương ứng).

Do tam giác ABC vuông tại A nên $\hat{A B C} + \hat{A C M} = \hat{A B C} + \hat{A C B} = 90^{\circ}$

Khi đó, ta có: $\hat{A B D} = \hat{A B C} + \hat{C B D} = \hat{A B C} + \hat{D B M} = \hat{A B C} + \hat{A C M} = 90^{\circ}$

Suy ra $\hat{A C M} = 90^{\circ}$

Vậy tam giác ABD vuông tại B.

b)Xét tam giác vuông ABD và tam giác vuông BAC có:

BD = AC (do $Δ A M C = Δ D M B$ )

AB cạnh chung

Do đó, $Δ A B D = Δ B A C$ (hai cạnh góc vuông).

c) Do tam giác ABC vuông tại A nên AC $⊥$ AB tại A.

Tam giác ABD vuông tại B nên DB $⊥$ AB tại B.

Suy ra AC // DB (do cùng vuông góc với AB).

=> $\hat{B D A} = \hat{C A D}$ (hai góc so le trong).

Lại có: $\hat{A C B} = \hat{B D A}$ (do $Δ A B D = Δ B A C$ ).

Do đó, $\hat{C A D} = \hat{A C B}$ , hay $\hat{C A M} = \hat{A C M}$ .

Suy ra tam giác AMC cân tại đỉnh M.

Khi đó MA = MC.

Mà MB = MC (do M là trung điểm của BC).

Nên MA = MB = MC.

Do đó, tam giác AMB cân tại đỉnh M.