a)Xét tam giác AMC và tam giác DMB có:

MA = MD (gt)

MB = MC (M là trung điểm của BC)

$\widehat{AMC}=\widehat{DMB}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, $\Delta AMC = \Delta DMB$ (c . g . c).

Suy ra $\widehat{DBM}=\widehat{ACM}$ (hai góc tương ứng).

Do tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{ABC}+\widehat{ACM}=\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^{\circ}$

Khi đó, ta có: $\widehat{ABD}=\widehat{ABC}+\widehat{CBD}=\widehat{ABC}+\widehat{DBM}=\widehat{ABC}+\widehat{ACM}=90^{\circ}$

Suy ra $\widehat{ACM}=90^{\circ}$

Vậy tam giác ABD vuông tại B.

b)Xét tam giác vuông ABD và tam giác vuông BAC có:

BD = AC (do $\Delta AMC = \Delta DMB$)

AB cạnh chung

Do đó, $\Delta ABD = \Delta BAC$ (hai cạnh góc vuông).

c) Do tam giác ABC vuông tại A nên AC $\perp$ AB tại A.

Tam giác ABD vuông tại B nên DB $ \perp$AB tại B.

Suy ra AC // DB (do cùng vuông góc với AB).

=> $\widehat{BDA}=\widehat{CAD}$ (hai góc so le trong).

Lại có: $\widehat{ACB}=\widehat{BDA}$ (do $\Delta ABD = \Delta BAC$).

Do đó, $\widehat{CAD}=\widehat{ACB}$, hay $\widehat{CAM}=\widehat{ACM}$.

Suy ra tam giác AMC cân tại đỉnh M.

Khi đó MA = MC.

Mà MB = MC (do M là trung điểm của BC).

Nên MA = MB = MC.

Do đó, tam giác AMB cân tại đỉnh M.