Cho tam giác ABC bằng tam giác DEF (H.4.28).

a) Vì $\mathrm{\Delta }ABC=\mathrm{\Delta }DEF$ nên  

$\{\begin{array}{c}\widehat{ABC}=\widehat{DEF};\widehat{BAC}=\widehat{EDF};\widehat{ACB}=\widehat{DFA}\\ AB=DE;BC=EF;AC=DF\end{array}$

Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC = $\frac{1}{2}BC$.

Vì N là trung điểm của EF nên EN = NF = $\frac{1}{2}EF$.

Mà BC = EF (chứng minh trên) nên BM = EN.

Xét $\mathrm{\Delta }ABM$ và $\mathrm{\Delta }DEN$ ta có:  

BM = EN (chứng minh trên)

AB = DE (chứng minh trên)

$\widehat{ABM}=\widehat{DEN}$ (do $\widehat{ABC}=\widehat{DEF}$ chứng minh trên)

Do đó, $\mathrm{\Delta }ABM=\mathrm{\Delta }DEN$ (c . g . c).

Suy ra, AM = DN (hai cạnh tương ứng).

b) Vì BP là tia phân giác của góc ABP nên $\widehat{ABP}=\widehat{PBC}=\frac{\widehat{ABC}}{2}$

Vì EQ là tia phân giác của góc DEF nên $\widehat{DEQ}=\widehat{QEF}=\frac{\widehat{DEF}}{2}$

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{DEF}$ nên $\widehat{PBC}=\widehat{QEF}$.

Xét $\mathrm{\Delta }PB$ và $\mathrm{\Delta }QEF$ ta có:

BC = EF (chứng minh trên)

$\widehat{PBC}=\widehat{QEF}$ (chứng minh trên)

$\widehat{PBC}=\widehat{QEF}$ (do $\widehat{ACB}=\widehat{DFE}$ chứng minh trên)

Do đó, $\mathrm{\Delta }PBC=\mathrm{\Delta }QEF$ (g.c.g)

Suy ra, BP = EQ (hai cạnh tương ứng)