Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA.
Vì N là trung điểm của AD nên AN = ND = $\frac{AD}{2}$.
Vì M là trung điểm của AB nên AM = MB = $\frac{AB}{2}$.
Mà AB = AD nên AN = BM.
Xét $\Delta ANB$ và $\Delta BMC$ có:
AN = BM (chứng minh trên)
AB = BC (chứng minh trên)
$\widehat{NAB}=\widehat{MBC}=90^{\circ}$ (do ABCD là hình vuông)
Do đó, $\Delta ANB = \Delta BMC$ (hai cạnh góc vuông)
Suy ra, BN = CM (hai cạnh tương ứng).
Gọi E là giao điểm của BN và CM.
Do $\Delta ANB = \Delta BMC$ nên $\widehat{ENB}=\widehat{CMB}=\widehat{BNA}$.
Từ định lí tổng ba góc trong tam giác BME và tam giác ABN, ta suy ra:
$\widehat{BEM}=180^{\circ}-\widehat{EMB}-\widehat{MBE}=180^{\circ}-\widehat{BNA}-\widehat{ABN}=\widehat{BAN}=90^{\circ}$
Vậy BN vuông góc với CM tại E.