Cho hình vuông ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD (H.4.36)

Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA.

Vì N là trung điểm của AD nên AN = ND = $\frac{A D}{2}$ .

Vì M là trung điểm của AB nên AM = MB = $\frac{A B}{2}$ .

Mà AB = AD nên AN = BM.

Xét $Δ A N B$ và $Δ B M C$ có:

AN = BM (chứng minh trên)

AB = BC (chứng minh trên)

$\hat{N A B} = \hat{M B C} = 90^{\circ}$ (do ABCD là hình vuông)

Do đó, $Δ A N B = Δ B M C$ (hai cạnh góc vuông)

Suy ra, BN = CM (hai cạnh tương ứng).

Gọi E là giao điểm của BN và CM.

Do $Δ A N B = Δ B M C$ nên $\hat{E N B} = \hat{C M B} = \hat{B N A}$ .

Từ định lí tổng ba góc trong tam giác BME và tam giác ABN, ta suy ra:

$\hat{B E M} = 180^{\circ} - \hat{E M B} - \hat{M B E} = 180^{\circ} - \hat{B N A} - \hat{A B N} = \hat{B A N} = 90^{\circ}$

Vậy BN vuông góc với CM tại E.