Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh AD và BC lần lượt lấy hai điểm E và F sao cho AE = CF (H.4.41).

a) Vì ABCD là hình chữ nhật nên AD = BC; AB = CD.

Ta có: AD = AE + ED; BC = BF + FC mà FC = AE (gt) và AD = BC nên ED = BF.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên $\hat{A B C} = \hat{B C D} = \hat{C D A} = \hat{D A B} = 90$ .

Xét $Δ A B F$ và $Δ C D E$ có:

AB = CD (chứng minh trên)

BF = ED (chứng minh trên)

$\hat{A B F} = \hat{C D E} = 90$ (do $\hat{A B C} = \hat{C D A} = 90$ )

Do đó, $Δ A B F = Δ C D E$ (hai cạnh góc vuông).

Suy ra, AF = CE.

b) Vì $Δ A B F = Δ C D E$ nên $\hat{A F E} = \hat{C E D}$ (hai góc tương ứng).

Lại có ABCD là hình chữ nhật nên AD // BC nên $\hat{C E D} = \hat{E C F}$ (hai góc so le trong).

Ta có: $\hat{A F B} = \hat{C E B}; \hat{C E B} = \hat{E C F}$ nên $\hat{A F B} = \hat{E C F}$ .

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị

Nên AF // CE (điều phải chứng minh).