Cho các điểm A, B, C, D như Hình 4.26, biết rằng AB = CD, $\widehat{BAE}=\widehat{DCE}$.

a) Xét tam giác ABE có:

$\widehat{BAE}+\widehat{ABE}+\widehat{AEB}={180}^{\circ }$

$\widehat{ABE}={180}^{\circ }-\widehat{BAE}-\widehat{AEB}$ (1)

Xét tam giác CDE có:

$\widehat{DEC}+\widehat{DCE}+\widehat{EDC}={180}^{\circ }$

$\widehat{EDC}={180}^{\circ }-\widehat{DCE}-\widehat{DEC}$ (2)

Mà $\widehat{BAE}=\widehat{DCE}$  (giả thiết); $\widehat{AEB}=\widehat{DEC}$ (hai góc đối đỉnh) (3)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra $\widehat{ABE}=\widehat{EDC}$.

Xét $\mathrm{\Delta }ABE$ và $\mathrm{\Delta }CDE$ có:

$\widehat{ABE}=\widehat{EDC}$(chứng minh trên)

AB = CD (giả thiết)

$\widehat{BAE}=\widehat{DCE}$ (giả thiết)

Do đó, $\mathrm{\Delta }ABE=\mathrm{\Delta }CDE$ (g . c . g).

Suy ra, AE = CE; BE = DE (các cặp cạnh tương ứng)

Vì AE = CE và E nằm giữa A và C nên E là trung điểm của AC;

Vì BE = DE và B nằm giữa D và B nên E là trung điểm của BD.

b) Xét $\mathrm{\Delta }ACD$ và $\mathrm{\Delta }CAB$ có:

CD = AB (giả thiết)

AC chung

$\widehat{BAC}=\widehat{DCA}$ (giả thiết)

Do đó, $\mathrm{\Delta }ACD=\mathrm{\Delta }CAB$ (c . g . c).

c) Vì $\mathrm{\Delta }ACD=\mathrm{\Delta }CAB$ nên $\widehat{DAC}=\widehat{BCA}$ (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD song song với BC.