Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.27, biết rằng AD = BC, $\widehat{ADE}=\widehat{BCE}$.

a) Xét tam giác AED có:

$\hat{A D E} + \hat{D A E} + \hat{A E D} = 180^{\circ}$

$\hat{D A E} = 180^{\circ} - \hat{A D E} - \hat{A E D}$ (1)

Xét tam giác BEC có:

$\hat{B C E} + \hat{E B C} + \hat{B E C} = 180^{\circ}$

$\hat{E B C} = 180^{\circ} - \hat{B C E} - \hat{B E C}$ (2)

Mà $\hat{A D E} = \hat{B C E}; \hat{A E D} = \hat{B E C}$ (hai góc đối đỉnh) (3)

Từ (1); (2); (3) suy ra, $\hat{D A E} = \hat{E B C}$ hay $\hat{D A C} = \hat{C B D}$ (điều phải chứng minh)

b) Xét $Δ A E D$ và $Δ B E C$ ta có:

$\hat{D A E} = \hat{E B C}$ (chứng minh trên)

$\hat{A D E} = \hat{B C E}$ (giả thiết)

AD = CB (giả thiết)

Do đó, $Δ A E D = Δ B E C$ (g.c.g).

c) Vì $Δ A E D = Δ B E C$ nên AE = BE; ED = EC.

Ta có: AC = AE + EC; BD = BE + ED.

Do đó, AC = BD.

Xét $Δ A B D$ và $Δ B A C$ ta có:

AC = BD (chứng minh trên)

AB chung

AD = CB (giả thiết)

Do đó, $Δ A B D = Δ B A C$ (c.c.c)

Suy ra $\hat{A B D} = \hat{B A C}$ (hai góc tương ứng)

Xét tam giác AEB có: $\hat{A B E} + \hat{B A E} + \hat{A E B} = 180^{\circ}$

Do đó, $2 \hat{A B E} = 180^{\circ} - \hat{A E B}$ (vì $\hat{A B E} = \hat{B A E}$ do $\hat{A B D} = \hat{B A C}$ )

Suy ra $\hat{A B E} = \frac{180^{\circ} - \hat{A E B}}{2}$ (4)

Xét $Δ A C D$ và $Δ B D C$ ta có:

AC = BD (chứng minh trên)

CD chung

AD = CB (giả thiết)

Do đó, $Δ A C D = Δ B D C$ (c.c.c)

Suy ra $\hat{A C D} = \hat{B D C}$ (hai góc tương ứng)

Xét tam giác DEC có: $\hat{D C E} + \hat{E D C} + \hat{D E C} = 180^{\circ}$

Do đó, $2 \hat{E D C} = 180^{\circ} - \hat{D E C}$ (vì $\hat{E D C} = \hat{D C E}$ do $\hat{A C D} = \hat{B D C}$ )

Suy ra $\hat{E D C} = \frac{180^{\circ} - \hat{D E C}}{2}$ (5)

Lại có, $\hat{A E B}, \hat{D E C}$ là hai góc đối đỉnh nên $\hat{A E B} = \hat{D E C}$ (6)

Từ (4); (5); (6) suy ra $\hat{A B E} = \hat{E D C}$ hay $\hat{A B D} = \hat{B D C}$ .

Mà hai góc này lại ở vị trí so le trong nên AB // CD.

Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.27, biết rằng AD = BC, $\hat{A D E} = \hat{B C E}$ .