a) Xét tam giác AED có:
$\widehat{ADE}+\widehat{DAE}+\widehat{AED}=180^{\circ}$
$\widehat{DAE}=180^{\circ}-\widehat{ADE}-\widehat{AED}$(1)
Xét tam giác BEC có:
$\widehat{BCE}+\widehat{EBC}+\widehat{BEC}=180^{\circ}$
$\widehat{EBC}=180^{\circ}-\widehat{BCE}-\widehat{BEC}$ (2)
Mà $\widehat{ADE}=\widehat{BCE};\widehat{AED}=\widehat{BEC}$ (hai góc đối đỉnh) (3)
Từ (1); (2); (3) suy ra, $\widehat{DAE}=\widehat{EBC}$ hay $\widehat{DAC}=\widehat{CBD}$ (điều phải chứng minh)
b) Xét $\Delta AED$ và $\Delta BEC$ ta có:
$\widehat{DAE}=\widehat{EBC}$ (chứng minh trên)
$\widehat{ADE}=\widehat{BCE}$ (giả thiết)
AD = CB (giả thiết)
Do đó, $\Delta AED = \Delta BEC$ (g.c.g).
c) Vì $\Delta AED = \Delta BEC$ nên AE = BE; ED = EC.
Ta có: AC = AE + EC; BD = BE + ED.
Do đó, AC = BD.
Xét $\Delta ABD$ và $\Delta BAC$ ta có:
AC = BD (chứng minh trên)
AB chung
AD = CB (giả thiết)
Do đó, $\Delta ABD = \Delta BAC$ (c.c.c)
Suy ra $\widehat{ABD}=\widehat{BAC}$ (hai góc tương ứng)
Xét tam giác AEB có: $\widehat{ABE}+\widehat{BAE}+\widehat{AEB}=180^{\circ}$
Do đó, $2\widehat{ABE}=180^{\circ}-\widehat{AEB}$ (vì $\widehat{ABE}=\widehat{BAE}$ do $\widehat{ABD}=\widehat{BAC}$)
Suy ra $\widehat{ABE}=\frac{180^{\circ}-\widehat{AEB}}{2}$ (4)
Xét $\Delta ACD$ và $\Delta BDC $ ta có:
AC = BD (chứng minh trên)
CD chung
AD = CB (giả thiết)
Do đó, $\Delta ACD = \Delta BDC$ (c.c.c)
Suy ra $\widehat{ACD}=\widehat{BDC}$ (hai góc tương ứng)
Xét tam giác DEC có: $\widehat{DCE}+\widehat{EDC}+\widehat{DEC}=180^{\circ}$
Do đó, $2\widehat{EDC}=180^{\circ}-\widehat{DEC}$ (vì $\widehat{EDC}=\widehat{DCE}$ do $\widehat{ACD}=\widehat{BDC}$)
Suy ra $\widehat{EDC}=\frac{180^{\circ}-\widehat{DEC}}{2}$ (5)
Lại có, $\widehat{AEB},\widehat{DEC}$ là hai góc đối đỉnh nên $\widehat{AEB}=\widehat{DEC}$ (6)
Từ (4); (5); (6) suy ra $\widehat{ABE}=\widehat{EDC}$ hay $\widehat{ABD}=\widehat{BDC}$.
Mà hai góc này lại ở vị trí so le trong nên AB // CD.