Cho bốn điểm A, B, C, D như Hình 4.40, trong đó AB = DC.

a) Gọi giao điểm của AC và BD là O.

Xét $Δ A B C$ và $Δ D C B$ có:

$\hat{B A C} = \hat{C D B} = 90^{\circ}$ (giả thiết)

AB = CD (giả thiết)

BC chung

Do đó, $Δ A B C = Δ D C B$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra, AC = BD (hai cạnh tương ứng).

b) Vì $Δ A B C = Δ D C B$ nên $\hat{A C B} = \hat{D B C}$ (hai góc tương ứng)

Xét tam giác OBC có:

$\hat{O C B} + \hat{C B O} + \hat{B O C} = 180^{\circ}$ .

Mà $\hat{O C B} = \hat{C B O}$ do $\hat{A C B} = \hat{D B C}$ nên $2 \hat{C B O} + \hat{B O C} = 180^{\circ}$ .

Suy ra $2 \hat{C B O} = 180^{\circ} - \hat{B O C}$

Do đó, $\hat{C B O} = \frac{180^{\circ} - \hat{B O C}}{2}$ (1)

Xét $Δ A B D$ và $Δ D C A$ có:

AB = CD (giả thiết)

BD = AC (chứng minh trên)

AD chung

Do đó, $Δ A B D = Δ D C A$ (c.c.c).

Suy ra, $\hat{A D B} = \hat{D A C}$

Xét tam giác OAD có:

$\hat{O A D} + \hat{A D O} + \hat{A O D} = 180^{\circ}$ .

Mà $\hat{O A D} = \hat{A D O}$ do $\hat{A D B} = \hat{D A C}$ nên $2 \hat{A D O} + \hat{A O D} = 180^{\circ}$

Suy ra $2 \hat{A D O} = 180^{\circ} - \hat{A O D}$

Do đó, $\hat{A D O} = \frac{180^{\circ} - \hat{A O D}}{2}$ (2)

Mà $\hat{A O D} = \hat{B O C}$ (hai góc đối đỉnh) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra, $\hat{C B O} = \hat{A D O}$ hay $\hat{C B D} = \hat{A D B}$ .

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.