Cho AH và DK lần lượt là hai đường cao của tam giác ABC và DEF như Hình 4.39.

a) Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH vuông góc với BC. Do đó, $\widehat{AHB}={90}^{\circ }$.

Vì DK là đường cao của tam giác DEF nên DK vuông góc với EF. Do đó, $\widehat{DKE}={90}^{\circ }$

Xét $\mathrm{\Delta }ABH$ và $\mathrm{\Delta }DEK$ có:

$\widehat{AHB}=\widehat{DKE}={90}^{\circ }$ (chứng minh trên)

AB = DE (giả thiết)

AH = DK (giả thiết)

Do đó, $\mathrm{\Delta }ABH=\mathrm{\Delta }DEK$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra, $\hat{B}=\hat{E}$ (hai góc tương ứng).

Xét $\mathrm{\Delta }ABC$ và $\mathrm{\Delta }DEF$ có:

$\widehat{AHB}=\widehat{DKE}={90}^{\circ }$ (chứng minh trên)

AB = DE (giả thiết)

BC = EF (giả thiết)

Do đó, $\mathrm{\Delta }ABC=\mathrm{\Delta }DEF$ (c . g . c).

b) Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH vuông góc với BC. Do đó, $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}={90}^{\circ }$.

Vì DK là đường cao của tam giác DEF nên DK vuông góc với EF. Do đó, $\widehat{DKE}=\widehat{DKF}={90}^{\circ }$.

Xét $\mathrm{\Delta }ABH$ và $\mathrm{\Delta }DEK$ có:  

$\widehat{AHB}=\widehat{DKF}={90}^{\circ }$ (chứng minh trên)

AB = DE (giả thiết)

AH = DK (giả thiết)

Do đó, $\mathrm{\Delta }ABH=\mathrm{\Delta }DEK$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra, BH = EK.

Xét $\mathrm{\Delta }ACH$ và $\mathrm{\Delta }DFK$ có:

$\widehat{AHC}=\widehat{DKF}={90}^{\circ }$ (chứng minh trên)

AC = DF (giả thiết)

AH = DK (giả thiết)

Do đó, $\mathrm{\Delta }ACH=\mathrm{\Delta }DFK$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra, CH = FK.

Ta có: BC = BH + HC; EF = EK + FK. Mà BH = EK; HC = FK nên BC = EF.

Xét $\mathrm{\Delta }ABC$ và $\mathrm{\Delta }DEF$ có:

BC = EF (chứng minh trên)

AC = DF (giả thiết)

AB = DE (giả thiết)

Do đó, $\mathrm{\Delta }ABC=\mathrm{\Delta }DEF$ (c . c . c).