Trắc nghiệm Online xin gửi tới các bạn bài học Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác Toán lớp 7. Bài học cung cấp cho các bạn phương pháp giải toán và các bài tập vận dụng. Hi vọng nội dung bài học sẽ giúp các bạn hoàn thiện và nâng cao kiến thức để hoàn thành mục tiêu của mình..
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
- Từ các bất đẳng thức trong tam giác đã nêu ta có thể kiểm tra độ dài ba cạnh có thỏa mãn bất đẳng thức hay không theo cách nhanh nhất là:
- Chọn cạnh lớn nhất xem có nhỏ hơn tổng hai cạnh còn lại không?
- Hoặc chọn cạnh bé nhất xem có lớn hơn hiệu hai cạnh còn lại không?
Chẳng hạn: Có thể dựng tam giác có ba cạnh có độ dài như sau không:
a) 6cm; 3cm; 2cm
b) 3cm; 4cm; 6cm
Trả lời:
a) Không được vì 6 > 3 + 2
b) Được vì 6 < 3 + 4; 3 > 6 - 4
- Ứng dụng của bất đẳng thức:
- Để só sánh các đoạn thẳng không bằng nhau.
- Để tìm điều kiện cho một tam giác tồn tại
- Chú ý: Ở đây sử dụng kiến thức bất đẳng thức mà học sinh chưa được học trong đại số, nên lưu ý:
- Độ dài các cạnh của tam giác là các số dương.
- Nếu cộng hai vế thì hai bất đẳng thức phải cùng chiều (cùng > hoặc cùng <)
- Nếu một vế có dạng: AB - CD thì cần có điều kiện AB $\geq $ CD để AB - CD $\geq $ 0.
Ví dụ 1: Cho góc nhọn $\widehat{xOy}$. Trên Ox lấy hai điểm M và N (điểm M nằm giữa hai điểm C và N), trên Oy lấy hai điểm E và F (điểm E nằm giữa 2 điểm O và F). Chứng minh rằng MN + EF < MF + NE.
Hướng dẫn:
Gọi I là giao điểm của MF và NE
Xét $\Delta $MIN có: MN < MI + IN (tổng hai cạnh lớn hơn cạnh còn lại)
Xét $\Delta $efi có: EF < EI + IF (tổng hai cạnh lớn hơn cạnh còn lại)
$\Rightarrow $ MN + EF + MI < MI + IN + EI + IF
$\Leftrightarrow MN + EF + MI < (MI + IF) + (EI + IN)
Hay MN + EF + MI < MF + NE
Ví dụ 2: Cho $\Delta $ABC có AB > AC. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, nối AM. Chứng minh rằng $\frac{AB - AC}{2}<AM<\frac{AB +AC}{2}$
Hướng dẫn:
Trên tia đối của tia MA lấy điểm A' sao cho MA' = MA
Xét $\Delta $ABM và $\Delta $A'MC có:
AM = MA'
BM = MC
$\widehat{AMB}=\widehat{CMA'}$
$\Rightarrow $ $\Delta $ABM = $\Delta $A'MC (c.g.c)
$\Rightarrow $ AB = A'C
Xét $\Delta $ACA' có: CA' - CA < AA' < AC + CA'
AB > AC $\Rightarrow $ AB - AC > 0 mà AB = CA'
Do đó CA' - CA > 0; AA' = 2AM
$\Rightarrow $ AB - AC < 2AM < AB + AC
Hay $\frac{AB - AC}{2}<AM<\frac{AB +AC}{2}$
B. Bài tập và hướng dẫn giải
1. Tính chu vi của $\Delta $ABC cân biết:
a) AB = 7cm; AC = 4cm
b) AB = 9cm; AC = 4cm
2. Cho $\Delta $ABC có AB > AC, kẻ tia phân giác AD của góc A (D thuộc BC), lấy M trên AD. Chứng minh rằng: AB - AC > MB - MC.
3. Cho hai điểm A và B thuộc cùng một nửa mặt phẳng xác định bởi đường thẳng a (A và B không thuộc đường thẳng a). Từ A hạ AH $\perp $ a và trên tia đối của tia HA lấy điểm A' sao cho HA' = HA. Nối BA' cắt đường thẳng a tại E. Trên đường thẳng a lấy điểm F bất kì (F khác E). Chứng minh rằng: AE + BE < AF + BF
4. Cho $\Delta $ABC cân tại A. Đường thẳng d qua A và song song với BC. Lấy A' là điểm bất kì trên đường thẳng d (A khác A'). Chứng minh rằng chu vi $\Delta $ABC nhỏ hơn chu vi tam giác $\Delta $A'BC.
5. Cho $\widehat{xOy}$ nhọn. Lấy điểm M thuộc miền trong của góc, từ M hạ MH $\perp $ Ox (H thuộc Ox) và trên tia đối của tia HM lấy điểm E sao cho HE = HM. Từ M hạ MK $\perp $ Oy (K thuộc Ox) và trên tia đối của tia KM lấy điểm F sao cho KF = KM. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B bất kì.
a) Chứng minh rằng chu vi $\Delta $AMB bằng tổng độ dài các đoạn thẳng AE + AB + BF
b) Tìm vị trí của A và B để chu vi $\Delta $ABM là nhỏ nhất.