Bài tập về xác định bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của đa thức

Bài tập về xác định bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của đa thức.

1. Ta thu gọn Q(x)

Q(x) = $a x^{4} + 2 x^{3} - b x^{3} + 3 x^{2} - x + c - x^{2} + 4$

= $a x^{4} + (2 - b) x^{3} + 2 x^{2} - x + c + 4$

Q(x) có bậc 3 nên a = 0

Hệ số cao nhất là -4 nên 2 - b = -4 $\Leftrightarrow$ b = 6

Hệ số tự do là 7 nên c + 4 = 7 $\Leftrightarrow$ c = 3

Vậy a = 0; b = 6; c = 3

2. A(x) = $a x^{4} - 3 x^{3} - 2 a x^{2} + x + 1$ (a là hằng số)

$\Rightarrow A (1) = a {.1}^{4} - {3.1}^{3} - 2 a {.1}^{2} + 1 + 1$

$\Leftrightarrow A (1) = - a - 1$

Mà A(1) = 4 $\Rightarrow$ -a - 1 = 4 $\Leftrightarrow$ a = -5

Vậy a = -5

3. P(x) = $a x^{2} + b x + c$ luôn bằng 0 với giá trị bất kì của x.

Chọn x = 0 thì ta được P(0) = c = 0

Chọn x = 1 thì ta được P(1) = a + b = 0 (1)

Chọn x = -1 thì ta được P(-1) = a - b = 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra a = b = 0.

Vậy a = b = c = 0.

4. Ta có: P(x) = $(10 x^{2} - 10 x)^{2010} = (10 x)^{2010} . (x - 1)^{2010}$

Tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi khai triển chính là:

P(1)= $(10.1)^{2010} . (1 - 1)^{2010}$ = 0