Bài tập về tính diện tích xung quanh, thể tích hình nón, nón cụt và các đại lượng có liên quan nếu biết hai trong ba yếu tố: bán kính đáy, chiều cao, đường sinh.
1. Áp dụng công thức V = $\frac{1}{3}\pi R^{2}h$ có R = 5cm ta còn phải tính h = SO.
Từ giả thiết ta có:
Sxq = $\pi Rl=65\pi \Leftrightarrow l=\frac{65\pi }{5\pi }=13(cm)$
Áp dụng định lý Py-ta-go vào $\Delta $SOA vuông tại O ta được:
$SA^{2}=AO^{2}+OS^{2}$ hay $13^{2}=5^{2}+h^{2}$
$\Leftrightarrow h=12$
Vậy thể tích của hình nón là:
V = $\frac{1}{3}\pi .5^{2}.12=100\pi (cm^{3})$
2.
a) Áp dụng định lý Py-ta-go vào $\Delta $SAO vuông tại O ta được:
$l^{2}=R^{2}+h^{2}$ hay $h^{2}=l^{2}-R^{2}=17^{2}-R^{2}$
Lại có Sxq = $\pi Rl=136\pi $ hay R = $\frac{136\pi }{\pi .17}=8$ (cm)
Nên $h^{2}=17^{2}-8^{2}=15^{2}\Leftrightarrow h=15cm$ (vì h>0)
b) Vì Stp = Sxq + Sđáy nên Stp = $136\pi +64\pi =200\pi (cm^{2})$
Thể tích của hình chóp là:
V = $\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi .8^{2}.15=320\pi (cm^{3})$
3.
a) Thể tích của xô là:
V = $\frac{1}{3}\pi h(R_{1}^{2}+R_{2}^{2}+R_{1}.R_{2})$
= $\frac{1}{3}\pi .23.(14^{2}+9^{2}+14.9)\approx 9702 (cm^{3})$
Vậy dung tích của xô là $9702 (cm^{3})$
b) Diện tích tôn để làm xô chính là Sxq của nón cụt cộng với diện tích đáy nhỏ. Mà Sxq = $\pi (R_{1}+R_{2})l=23\pi l$ và diện tích đáy nhỏ là:
Sđáy = $\pi .9^{2}=81\pi (cm^{2})$
Ta cần tìm đường sinh l = AD.
Áp dụng định lý Py-ta-go cho $\Delta $AHD vuông tại H ta được:
$AD^{2}=DH^{2}+HA^{2}$ hay $l^{2}=23^{2}+5^{2}\Leftrightarrow l\approx 23,5(cm)$
Do đó Sxq = $23\pi .23,5= 540,5\pi (cm)$
Vậy diện tích tôn để làm xô là:
S = $540,5\pi +81\pi =621,5\pi (cm^{2})$