Bài tập về sử dụng công thức diện tích để tính độ dài đoạn thẳng. Chứng minh hệ thức hình học.

6.

Gọi chiều cao kẻ từ A đến DE là h1

Vì DE // BC nên chiều cao kẻ từ D, E đến BC bằng nhau, gọi chiều cao đó là h2.

SABM = SAMC (vì chung chiều cao kẻ từ A đến BC, đáy bằng nhau)

SBMD = SMCE (vì đáy bằng nhau, chiều cao bằng nhau)

$\Rightarrow $ SABM - SBMD = SAMC - SMCE 

$\Rightarrow $ SAMD = SAME (1)

Mặt khác :

SADM = SAOD + SDOM = $\frac{1}{2}$DO.h1 + $\frac{1}{2}$DO.h2 = $\frac{DO}{2}$(h1 + h2) (2)

SAME = SAEO + SOEM = $\frac{1}{2}$OE.h1 + $\frac{1}{2}$OE.h2 = $\frac{EO}{2}$(h1 + h2) (3)

Từ (1), (2), (3) $\Rightarrow $ DO = OE

7.

Trước hết ta chứng minh SADO = SBCO

Vì AB // CD nên chiều cao từ A và B đến CD bằng nhau.

Ta có SACD = SBCD (vì chung đáy CD, chiều cao bằng nhau)

Mà SACD = SADO + SDOC

      SBCD = SBOC + SOCD

$\Rightarrow $ SAOD = SBCO

Lập luận tương tự bài 6 ta được EO = OH.

8.

Gọi AB =AC = 2a.

Ta tính diện tích $\Delta $ABC theo hai cách.

S = $\frac{1}{2}$AC.BH = $\frac{1}{2}$BH.2a = a.BH

S = SAMB + SAMC = $\frac{1}{2}$AB.MP + $\frac{1}{2}$AC.MQ = a(MP + MQ)

$\Rightarrow $ a.HB = a(MP + MQ)

$\Rightarrow $ BH = MP + MQ (Đpcm)