Bài tập về sử dụng công thức diện tích để tính độ dài đoạn thẳng. Chứng minh hệ thức hình học

Bài tập về sử dụng công thức diện tích để tính độ dài đoạn thẳng. Chứng minh hệ thức hình học.

6.

Gọi chiều cao kẻ từ A đến DE là h₁. 

Vì DE // BC nên chiều cao kẻ từ D, E đến BC bằng nhau, gọi chiều cao đó là h₂.

S_ABM = S_AMC (vì chung chiều cao kẻ từ A đến BC, đáy bằng nhau)

S_BMD = S_MCE (vì đáy bằng nhau, chiều cao bằng nhau)

$\Rightarrow$ S_ABM - S_BMD = S_AMC - S_MCE 

$\Rightarrow$ S_AMD = S_AME (1)

Mặt khác :

S_ADM = S_AOD + S_DOM = $\frac{1}{2}$DO.h₁ + $\frac{1}{2}$DO.h₂ = $\frac{DO}{2}$(h₁ + h₂) (2)

S_AME = S_AEO + S_OEM = $\frac{1}{2}$OE.h₁ + $\frac{1}{2}$OE.h₂ = $\frac{EO}{2}$(h₁ + h₂) (3)

Từ (1), (2), (3) $\Rightarrow$ DO = OE

7.

Trước hết ta chứng minh SADO = SBCO

Vì AB // CD nên chiều cao từ A và B đến CD bằng nhau.

Ta có S_ACD = S_BCD (vì chung đáy CD, chiều cao bằng nhau)

Mà S_ACD = S_ADO + S_DOC

      S_BCD = S_BOC + S_OCD

$\Rightarrow$ S_AOD = S_BCO

Lập luận tương tự bài 6 ta được EO = OH.

8.

Gọi AB =AC = 2a.

Ta tính diện tích $\mathrm{\Delta }$ABC theo hai cách.

S = $\frac{1}{2}$AC.BH = $\frac{1}{2}$BH.2a = a.BH

S = S_AMB + S_AMC = $\frac{1}{2}$AB.MP + $\frac{1}{2}$AC.MQ = a(MP + MQ)

$\Rightarrow$ a.HB = a(MP + MQ)

$\Rightarrow$ BH = MP + MQ (Đpcm)