Bài tập về chứng minh tứ giác nội tiếp

Bài tập về chứng minh tứ giác nội tiếp.

a) Vì $\hat{A E C} = \hat{A D C} = 90^{\circ}$ nên tứ giác AEDC nội tiếp.

Theo trên, tứ giác AEDC nội tiếp nên $\hat{B A C} = \hat{B D I}$ (cùng bù với $\hat{E D C}$ )

Mặt khác $\hat{B A C} = \hat{B M C}$ (cùng chắn cung BC) suy ra $\hat{B D I} = \hat{B M C}$ , dẫn đến tứ giác DIMC nội tiếp (đpcm)

b) Từ giả thiết BM là đường kính, ta có MA $⊥$ AB.

Lại có CH $⊥$ AB, suy ra AM // CH.

Tiếp theo, do CM $⊥$ BC, AD $⊥$ BC nên AH // CM.

$\Rightarrow$ AHCM là hình bình hành.

Từ đó K là trung điểm của AC.

Suy ra OK $⊥$ AC (đpcm)

c) Xét $Δ$ AKO vuông có $\hat{A O K} = 60^{\circ}$ suy ra $\hat{O A K} = 30^{\circ}$ do đó OK = $\frac{1}{2}$ OA = $\frac{1}{2}$ OB

Lại do OK là đường trung bình của $Δ$ BHM nên OK = $\frac{1}{2}$ BH

Suy ra BH = BO, nghĩa là $Δ$ BHO cân tại B (đpcm)

a) Ta thấy $\hat{E B N} = \hat{E C N} = 45^{\circ}$

$\Rightarrow$ tứ giác BENC nội tiếp.

$\hat{F B M} = \hat{F A M} = 45^{\circ}$

$\Rightarrow$ tứ giác BFMA nội tiếp.

b) Từ kết quả câu a, tứ giác BCNE nội tiếp nên $\hat{B C N} + \hat{B E N} = 180^{\circ}$ . Mà $\hat{B C N} = 90^{\circ}$

$\Rightarrow \hat{B E N} = 90^{\circ}$ hay $\hat{M E N} = 90^{\circ}$

Tương tự ta cũng chứng minh được $\hat{M F N} = 90^{\circ}$

Do đó tứ giác MEFN nội tiếp đường tròn đường kính MN (đpcm)

c) Từ câu b, ta thấy H là trực tâm tam giác BMN. Từ đó BI $⊥$ MN.

Có $\hat{B N C} = \hat{B E C}$ (cùng chắn cung BC), $\hat{B E C} = \hat{B N I}$ (cùng bù với $\hat{F E M}$ ) nên $\hat{B N C} = \hat{B N I}$

Xét $Δ$ BCN và $Δ$ BIN là hai tam giác vuông có:

BN chung

$\hat{B N C} = \hat{B N I}$

$\Rightarrow$ $Δ$ BCN = $Δ$ BIN (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow$ BI = BC = a

a) Vì tứ giác BMCN là hình bình hành nên $\hat{B C N} = \hat{C B M}$ (so le trong)

Lại theo giả thiết $\hat{C B M} = \hat{C D M}$ , suy ra $\hat{B C N} = \hat{C D M}$ (1)

Ta có CN // BM; BM // AD nên CN // AD nghĩa là tứ giác ADCN là hình bình hành

$\Rightarrow$ AN // CD. Mà AB // DM

$\Rightarrow \hat{B A N} = \hat{M D C}$ (2) (góc có cạnh tương ứng song song)

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{B A N} = \hat{B C N}$

Do đso tứ giác ABNC nội tiếp (đpcm)

b) Ta có $\hat{B C M} = \hat{C B N}$ (so le trong)

Vì tứ giác ABNC nội tiếp nên $\hat{C B N} = \hat{C A N}$ (cùng chắn cung NC)

Mặt khác $\hat{C A N} = \hat{A C D}$ (2 góc so le trong)

Do đó $\hat{B C M} = \hat{A C D}$