Bài tập về chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn.
4.
Đặt HK = KD = x. Khi đó DI = 2x; KC = 3x.
Ta thấy bốn điểm E, D, F, C cùng nằm trên đường tròn (O) nên KE.KF = KD.KC (1)
Mặt khác KD.KC = x.3x = 3x$^{2}$
KH.KI = x.3x = 3x$^{2}$
$\Rightarrow $ KD.KC = KH.KI (2).
Từ (1) và (2) suy ra KE.KF = KH.KI
Do đó bốn điểm E, H, F, I cùng nằm trên một đường tròn (đpcm)
5.
a) Do bốn điểm B, D, C, E cùng nằm trên đường tròn (O) nên ID.IE = IB.IC = IB$^{2}$ (1)
Áp dụng hệ thức lượng cho $\Delta $ABO vuông với BI là đường cao, ta có:
IB$^{2}$ = IA.IO (2)
Từ (1) và (2) ta được : ID.IE = IA.IO
Chứng tỏ bốn điểm A, D, O, E cùng nằm trên một đường tròn.
b) Từ câu a) ta thấy $\widehat{ODE}=\widehat{OAE}$ (cùng chắn cung OE), $\widehat{OED}=\widehat{OAD}$ (cùng chắn cung OD)
Mà $\Delta $ODE cân tại O nên $\widehat{ODE}=\widehat{OED}$
Do đó $\widehat{OAE}=\widehat{OAD}$ (3)
Chú ý rằng AO là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ nên từ (3) suy ra $\widehat{BAE}=\widehat{CAD}$ (4)
Từ (4) dễ dàng suy ra $\widehat{BAD}=\widehat{CAE}$ (đpcm)
6.
Không mất tính tổng quát, giả sử $\widehat{ACD}>\widehat{ACB}$.
Qua C kẻ tia Cx sao cho $\widehat{xCD}=\widehat{ACB}$.
Gọi E là giao điểm của Cx với BD.
Ta thấy $\Delta ABC \sim \Delta DEC$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{AB}{ED}=\frac{AC}{CD}$ hay AB.CD = AC.ED (1)
Mặt khác $\Delta ACD \sim \Delta BCE$ (vì $\widehat{BCE}=\widehat{ACD}; \widehat{CAD}=\widehat{CBE}$)
$\Rightarrow \frac{AD}{EB}=\frac{AC}{BC}$ hay BC.AD = AC.EB (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB.CD + BC.AD = AC(EB+ED) = AC.BD (đpcm)