Lời giải Câu 4 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 1 năm 2017 của trường THPT chuyên Lê Qúy Đôn.
Lời giải câu 4 :
Đề bài :
Cho phương trình : $(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})+(x-\frac{1}{x})+m =0$ ( m là tham số )
a. Khi m = -2 , giải phương trình đã cho .
b. Tìm các giá trị m để phương trình đã cho có nghiệm .
Hướng dẫn giải chi tiết :
$(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})+(x-\frac{1}{x})+m =0$ (*)
a. Khi m = -2 thay vào (*) ta có :
$(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})+(x-\frac{1}{x})-2 =0$ (**) ( Đk : $x\neq 0$ )
Đặt $t=x-\frac{1}{x}=> t^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2$
(**) <=> $t^{2}+2+t-2=0<=> t^{2}+t=0$
<=> $\left\{\begin{matrix}t=0 & \\ t=-1 & \end{matrix}\right.$
+ Với t = 0 <=> $x-\frac{1}{x}=0<=> x^{2}-1=0$
=> Hoặc x = 1 hoặc x = -1 .
+ Với t = -1 <=> $x-\frac{1}{x}=-1<=> x^{2}+x-1=0$
Ta có : $\Delta =1^{2}-4.1.(-1)=5=> \sqrt{\Delta }=\sqrt{5}$
=> Phương trình có hai nghiệm phân biệt :
$x_{1}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} , x_{2}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$
Áp dụng Đk : $x\neq 0$ , các nghiệm đều thoản mãn.
Vậy phương trình có tập nghiệm : $\begin{Bmatrix}1;-1;\frac{-1+\sqrt{5}}{2};\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\end{Bmatrix}$ .
b. $(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})+(x-\frac{1}{x})+m =0$ (1) ( Đk : $x\neq 0$ )
Đặt $t=x-\frac{1}{x}=> t^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2$
(1) <=> $t^{2}+t+m+2=0 (2)$
Để (2) có hai nghiệm phân biệt <=> $\Delta \geq 0<=> 1-4(m+2)\geq 0<=> m\leq \frac{-7}{4}$ .
Với mỗi giá trị của t là nghiệm của (1) nên ta có :
$x-\frac{1}{x}=t<=> x^{2}-tx-1=0$ (3)
Nhận xét : Ta thấy phương trình (3) luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$ do a và c trái dấu.
Vậy để phương trình đã cho có nghiệm <=> $m\leq \frac{-7}{4}$ .