Lời giải Câu 4 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 1 năm 2017 của trường THPT chuyên Lê Qúy Đôn

Lời giải Câu 4 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 1 năm 2017 của trường THPT chuyên Lê Qúy Đôn.

Lời giải  câu 4 :

Đề bài :

Cho phương trình :      $(x^2+\frac{1}{x^2})+(x-\frac{1}{x})+m=0$    ( m là tham số )

a.  Khi m = -2 , giải phương trình đã cho .

b.  Tìm các giá trị m để phương trình đã cho có nghiệm .

Hướng dẫn giải chi tiết :

            $(x^2+\frac{1}{x^2})+(x-\frac{1}{x})+m=0$       (*)

a.   Khi m = -2 thay vào (*)  ta có :  

            $(x^2+\frac{1}{x^2})+(x-\frac{1}{x})-2=0$      (**)        ( Đk : $x\ne 0$ )

Đặt  $t=x-\frac{1}{x}=>t^2=x^2+\frac{1}{x^2}-2$

(**) <=>  $t^2+2+t-2=0<=>t^2+t=0$

     <=>   $\{\begin{array}{cc}t=0& \\ t=-1& \end{array}$   

+ Với t = 0 <=> $x-\frac{1}{x}=0<=>x^2-1=0$

=>  Hoặc x = 1 hoặc x = -1 .

+  Với t = -1 <=> $x-\frac{1}{x}=-1<=>x^2+x-1=0$

Ta có : $\mathrm{\Delta }=1^2-4.1.(-1)=5=>\sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{5}$

=> Phương trình có hai nghiệm phân biệt :

              $x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$

Áp dụng  Đk : $x\ne 0$  , các nghiệm đều thoản mãn.

Vậy phương trình có tập nghiệm : $\left\{\begin{array}{c}1;-1;\frac{-1+\sqrt{5}}{2};\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right\}$ .

 

b.     $(x^2+\frac{1}{x^2})+(x-\frac{1}{x})+m=0$       (1)     ( Đk : $x\ne 0$ )

Đặt  $t=x-\frac{1}{x}=>t^2=x^2+\frac{1}{x^2}-2$

(1) <=>  $t^2+t+m+2=0(2)$

Để (2) có hai nghiệm phân biệt <=>  $\mathrm{\Delta }\ge 0<=>1-4(m+2)\ge 0<=>m\le \frac{-7}{4}$ .

Với mỗi giá trị của t là nghiệm của (1) nên ta có :

                    $x-\frac{1}{x}=t<=>x^2-tx-1=0$           (3)

Nhận xét : Ta thấy  phương trình (3) luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ do a và c trái dấu.

Vậy để phương trình đã cho có nghiệm <=>  $m\le \frac{-7}{4}$ .