Lời giải Bài 7-Một số bài toán Hình học thường gặp trong đề tuyển sinh vào 10 năm 2017

Lời giải Bài 7-Một số bài toán Hình học thường gặp trong đề tuyển sinh vào 10 năm 2017.

Lời giải chi tiết :

Đề ra :

Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong ( O,R ) .Trên cạnh AB và AC lấy hai điểm M, N sao cho BM = AN .

a.  Chứng tỏ : $\mathrm{△}OMN$ cân .

b.  Chứng minh : OMAN nội tiếp .

c.  BO kéo dài cắt AC tại D và cắt (O) tại E. Chứng minh :  $B{C}^2+D{C}^2=3R^2$ .

d.  Đường thẳng CE và AB cắt nhau tại F. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt FC tại I . AO kéo dài cắt BC tại J . Chứng minh : BI đi qua trung điểm của AJ .

Hướng dẫn giải : 

 

a.

Do $\mathrm{△}ABC$ là tam giác đều nội tiếp trong (O)

=>  AO và BO là phân giác của $\mathrm{△}ABC$ .

=>  $\widehat{OAN}=\widehat{OBM}={30}^{\circ }$

Mặt khác : $\{\begin{array}{cc}OA=OB=R& \\ BM=AN& \end{array}$

=>  $\mathrm{△}OMB=\mathrm{△}ONA=>OM=ON$

=>  $\mathrm{△}OMN$ cân .      ( đpcm )

b.

Do : $\mathrm{△}OMB=\mathrm{△}ONA=>\widehat{BMO}=\widehat{ANO}$

Mà  :  $\widehat{BMO}+\widehat{AMO}={180}^{\circ }$

=>  $\widehat{ANO}+\widehat{AMO}={180}^{\circ }$

=>  Tứ giác OMAN nội tiếp .      ( đpcm )

c.

Do BO là phân giác của $\mathrm{△}ABC$ đều =>  $BO\perp AC$

=>  $\mathrm{△}BOD$ vuông tại D .

Áp dụng hệ thức Py-ta-go , ta có : $B{C}^2=D{B}^2+C{D}^2=(B0+OD{)}^2+C{D}^2$

<=>  $B{C}^2=B{O}^2+2OB.OD+O{D}^2+C{D}^2(1)$

Mà : OB = R

Xét $\mathrm{△}AOC$ cân tại O , có : $\widehat{OAC}={30}^{\circ }$

=>  $\widehat{AOC}={120}^{\circ }$

=>  $\widehat{AOE}={60}^{\circ }$

=>  $\mathrm{△}AOE$ là tam giác đều =>  $AD\perp OE=>OD=ED=\frac{R}{2}$

Áp dụng Py-ta-go , ta có : $O{D}^2=O{C}^2-C{D}^2=R^2-C{D}^2$     (2)

Từ (1), (2)  =>  $B{C}^2+C{D}^2=R^2+2R.\frac{R}{2}+C{D}^2-C{D}^2=3R^2$

Vậy $B{C}^2+C{D}^2=3R^2$      ( đpcm )

d.

Gọi K là giao điểm của BI và AJ .

Ta có :  

• $\widehat{BCE}={90}^{\circ }$    ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
•  $\hat{B}={60}^{\circ }$
•  $\widehat{BFC}={30}^{\circ }$

=>  $BC=\frac{1}{2}BF$

Do : $\{\begin{array}{cc}AO\perp AI& \\ AJ\perp BC& \end{array}$

=>  AI // BC   .

Mà A là trung điểm BF => I là trung điểm CF .

<=>  FI = IC .   (*)

+  Vì AK // FI  . Áp dụng hệ quả định lý Talet trong tam giác BFI , ta có :  $\frac{AK}{EI}=\frac{BK}{BI}$

+  Vì KJ // CI . Áp dụng  hệ quả định lý Talet trong tam giác BIC , ta có : $\frac{KJ}{CJ}=\frac{BK}{BI}$

=>  $\frac{AK}{FI}=\frac{KJ}{CI}$

Từ (*)  =>  AK = KJ .      ( đpcm )

Vậy BI đi qua trung điểm của AJ .