Lời giải Bài 5 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 4 năm 2017 của Trường chuyên Lam Sơn Thanh Hóa

Lời giải Bài 5 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 4 năm 2017 của Trường chuyên Lam Sơn Thanh Hóa.

Đề bài :

Cho a , b ,c là 3 số thực dương thỏa mãn $a^{2} + 2 b^{2} \leq 3 c^{2}$ . Chứng minh rằng : $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} \geq \frac{3}{c}$ .

Hướng dẫn giải chi tiết :

Với a , b ,c là 3 số thực dương , ta có :

+ $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} \geq \frac{9}{a + 2 b}$ (1)

<=> $(a + 2 b) (b + 2 a) \geq 9 a b$

<=> $2 a^{2} - 4 a b + 2 a^{2} \geq 0 <=> 2 (a - b)^{2 \geq 0}$ ( luôn đúng )

Dấu " = " xảy ra <=> a = b .

+ $a + 2 b \leq \sqrt{3 (a^{2} + 2 a^{2})}$ (2)

<=> $(a + 2 b)^{2} \leq 3 (a^{2} + 2 b^{2})$

<=> $2 a^{2} - 4 a b + 2 a^{2} \geq 0 <=> 2 (a - b)^{2} \geq 0$ ( luôn đúng )

Dấu " = " xảy ra <=> a = b .

Từ (1) , (2) => $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} \geq \frac{9}{a + 2 b} \geq \frac{9}{\sqrt{3 (a^{2} + 2 b^{2})}} \geq \frac{3}{c}$

=> $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} \geq \frac{3}{c}$ và Dấu " = " xảy ra <=> a = b = c . ( đpcm )