Lời giải Bài 5 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 1 năm 2017 của Trường chuyên Lam Sơn Thanh Hóa

Lời giải Bài 5 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 1 năm 2017 của Trường chuyên Lam Sơn Thanh Hóa.

Lời giải  bài 5 :

Đề bài :

Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn : $\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}=2014$        (*)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  $T=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}$ .

Hướng dẫn giải chi tiết :

Đặt  $\{\begin{array}{ccc}a=\sqrt{x^2+y^2}& & \\ b=\sqrt{y^2+z^2}& & \\ c=\sqrt{z^2+x^2}& & \end{array}$      (**)

(*) =>  a + b + c = 2014                                                                                                                                                                                            (1)

(**) => $\{\begin{array}{ccc}{x}^2=\frac{a^2-b^2+c^2}{2}& & \\ y^2=\frac{a^2+b^2-c^2}{2}& & \\ z^2=\frac{-a^2+b^2+c^2}{2}& & \end{array}$

Áp dụng BĐT Cauchy , ta có :  

$\{\begin{array}{ccc}y+z\le \sqrt{2(y^2+z^2)}=b\sqrt{2}& & \\ z+x\le \sqrt{2(z^2+x^2)}=c\sqrt{2}& & \\ x+y\le \sqrt{2(x^2+y^2)}=a\sqrt{2}& & \end{array}$

Ta có :  $T=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}$ .

=>   $T\ge \frac{1}{2\sqrt{2}}(\frac{a^2-b^2+c^2}{b}+\frac{a^2+b^2-c^2}{c}+\frac{-a^2+b^2+c^2}{a})$

<=>  $T\ge \frac{1}{2\sqrt{2}}(\frac{a^2}{b}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{a}-a-b-c)$                 (2)

Áp dụng BĐT Cauchy , ta lại có :  

$\{\begin{array}{ccc}\frac{a^2}{b}+b\ge 2a;\frac{c^2}{b}+b\ge 2c& & \\ \frac{a^2}{c}+c\ge 2a;\frac{b^2}{c}+c\ge 2b& & \\ \frac{b^2}{a}+a\ge 2b;\frac{c^2}{a}+a\ge 2c& & \end{array}$

=>   $\frac{a^2}{b}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{a}\ge 4(a+b+c)-2(a+b+c)=2(a+b+c)$             (3)

Từ (2) , (3)   =>   $T\ge \frac{1}{2\sqrt{2}}(a+b+c)$                                                                                                                                                     (4)

Từ (1) , (4)   =>   $T\ge \frac{1}{2\sqrt{2}}2014=\frac{2014}{2\sqrt{2}}$

Vậy $T_{min}=\frac{2014}{2\sqrt{2}}$   khi  $x=y=z\frac{2014}{2\sqrt{2}}$ .