Lời giải bài 5 chuyên đề Bài toán Dựng hình.
Phân tích bài toán :
Giả sử bài toán đã giải xong và ta đã dựng được điểm M theo yêu cầu của đề bài.
Kẻ PN // AM và PN = AM => AN // NP , Có nghĩa là $ AN Ox\perp $ (1)
Mặt khác PN = AM = OP nên tam giác OPN cân : $\widehat{O_{1}}=\widehat{N_{1}}$
Mà $\widehat{O_{2}}=\widehat{N_{1}}$ (góc so le trong PN // Oy) => $\widehat{O_{1}}=\widehat{O_{2}}$.
Điều đó có nghĩa là N nằm trên tia phân giác của góc xOy .
Theo (1) thì N nằm trên đường thẳng vuông góc với Ox hạ từ A.Vậy N là giao điểm của đường thẳng đó với tia phân giác của góc xOy . Vị trí N hoàn toàn xác định => do đó dựng được hình theo yêu cầu.
Cách dựng hình :
Kẻ tia phân giác Ot của góc xOy và từ A ,kẻ đường thẳng vuông góc với Ox , cắt Ot tại N .
Từ N kẻ NP // Oy ,cắt Ox tại P .Từ P kẻ đường thẳng vuông góc với Ox, cắt Oy tại điểm N cần dựng .
Chứng minh :
Ta có :
NP // Oy nên $\widehat{O_{2}}=\widehat{N_{1}}$ (so le trong )
Mà Ot là tia phân giác : $\widehat{O_{1}}=\widehat{O_{2}}$.
=> $\widehat{O_{1}}=\widehat{N_{1}}$
=> Tam giác OPN cân tại P : OP = PN.
Mà MP và AN cùng vuông góc với Ox nên MP // AN
=> PN = AM (đoạn thẳng song song bị chắn bởi hai đƣờng thẳng song song) (2)
Từ (1),(2) => OP = AM.
Biện luận:
Góc xOy nhọn nên tia phân giác Ot cắt đường thẳng kẻ từ A vuông góc với Ox tại một điểm N duy nhất.Do đó bài toán có một nghiệm hình như hình vẽ.