Lời giải Bài 4 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 3 năm 2017 của trường THPT chuyên TP HCM.
Lời giải bài 4 :
Đề bài :
Cho phương trình : $8x^{2}-8x+m^{2}+1=0 (*)$ ( x là ẩn số )
a. Định m để (*) có nghiệm $x=\frac{1}{2}$ .
b. Định m để (*) có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa điều kiện : $x_{1}^{4}-x_{2}^{4}=x_{1}^{3}-x_{2}^{3}$ .
Hướng dẫn giải chi tiết :
a. $8x^{2}-8x+m^{2}+1=0 (*)$
Để (*) có nghiệm $x=\frac{1}{2}$ <=> $2-4+m^{2}+1=0<=> m^{2}=1=> m=\pm 1$
Vậy khi $ m=\pm 1$ thì (*) có nghiệm $x=\frac{1}{2}$ .
b. Để (*) có 2 nghiệm x1 ; x2 <=> $\Delta {}'=16-8m^{2}-8=8(1-m^{2})$
+ Khi $ m=\pm 1$ => $\Delta {}'=0<=> x_{1}=x_{2}$
Mà theo giả thiết : $x_{1}^{4}-x_{2}^{4}=x_{1}^{3}-x_{2}^{3}$ ( thỏa mãn )
Điều kiện cần để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt là : $\left | m \right |<1<=> -1<m<1$
Khi đó , ta có : $x_{1}^{4}-x_{2}^{4}=x_{1}^{3}-x_{2}^{3}$
<=> $\left ( x_{1}^{2}-x_{2} ^{2}\right ).\left ( x_{1}^{2}+x_{2} ^{2} \right )=\left ( x_{1}-x_{2} \right ).\left ( x_{1}^{2} +x_{2}^{2}+x_{1}x_{2}\right )$
<=> $\left (x_{1}+x_{2} \right ).\left ( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right )=\left ( x_{1}^{2} +x_{2}^{2}+x_{1}x_{2} \right )$ ( $x_{1}\neq x_{2}$ )
<=> $\left ( x_{1}+x_{2} \right )\left [ \left ( x_{1}+x_{2} \right )^{2}-2x_{1}.x_{2} \right ]=\left ( x_{1}+x_{2} \right )^{2}-x_{1}.x_{2}$ ( 1 )
Áp dụng hệ thức Vi-et : $\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a} & \\ x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a} & \end{matrix}\right.$
Thay vào (1) <=> $S\left ( S^{2}-2P \right )=S^{2}-P$ <=> $1\left ( 1^{2}-2P \right )=1^{2}-P$
Để P = 0 <=> $m^{2}+1=0$ ( vô nghiệm )
Vậy để (*) có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa điều kiện : $x_{1}^{4}-x_{2}^{4}=x_{1}^{3}-x_{2}^{3}$ thì $ m=\pm 1$ .