Lời giải Bài 3 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 2 năm 2017 của trường THPT chuyên Sư Phạm Hà Nội

Lời giải Bài 3 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 2 năm 2017 của trường THPT chuyên Sư Phạm Hà Nội.

Đề bài :

Cho các số thực dương a , b , c thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3$

Chứng minh : $\frac{2 a^{2}}{a + b^{2}} + \frac{2 b^{2}}{b + c^{2}} + \frac{2 c^{2}}{c + a^{2}} \geq a + b + c$

Hướng dẫn giải chi tiết :

Ta có : $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3$

Mà $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{1}{3}\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}

=> $a + b + c \leq 3$

Gọi $\frac{2 a^{2}}{a + b^{2}} + \frac{2 b^{2}}{b + c^{2}} + \frac{2 c^{2}}{c + a^{2}}$ = VT

<=> VT = $\frac{4 a^{4}}{(2 a^{3} + 2 a^{2} b^{2})} + \frac{4 b^{4}}{(2 b^{3} + 2 b^{2} c^{2})} + \frac{4 c^{4}}{(2 c^{3} + 2 c^{2} a^{2})}$

<=> VT $\geq$ $\frac{(2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2})^{2}}{2 a^{3} + 2 b^{3} + 2 c^{3} + 2 a^{2} b^{2} + 2 b^{2} c^{2} + 2 c^{2} a^{2}}$

<=> VT $\geq$ $\frac{(2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2})^{2}}{(a^{2} + b^{2} + c^{2})^{2} + a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

<=> VT $\geq$ $\frac{36}{9 + 3} = 3 \geq a + b + c$

=> $\frac{2 a^{2}}{a + b^{2}} + \frac{2 b^{2}}{b + c^{2}} + \frac{2 c^{2}}{c + a^{2}} \geq a + b + c$ ( đpcm ) .