Lời giải Bài 3 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 2 năm 2017 của trường THPT chuyên Sư Phạm Hà Nội.
Lời giải bài 3 :
Đề bài :
Cho các số thực dương a , b , c thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
Chứng minh : $\frac{2a^{2}}{a+b^{2}}+\frac{2b^{2}}{b+c^{2}}+\frac{2c^{2}}{c+a^{2}}\geq a+b+c$
Hướng dẫn giải chi tiết :
Ta có : $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
Mà $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{1}{3}\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}
=> $a+b+c\leq 3$
Gọi $\frac{2a^{2}}{a+b^{2}}+\frac{2b^{2}}{b+c^{2}}+\frac{2c^{2}}{c+a^{2}}$ = VT
<=> VT = $\frac{4a^{4}}{(2a^{3}+2a^{2}b^{2})}+\frac{4b^{4}}{(2b^{3}+2b^{2}c^{2})}+\frac{4c^{4}}{(2c^{3}+2c^{2}a^{2})}$
<=> VT $\geq $ $\frac{(2a^{2}+2b^{2}+2c^{2})^{2}}{2a^{3}+2b^{3}+2c^{3}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2c^{2}a^{2}}$
<=> VT $\geq $ $\frac{(2a^{2}+2b^{2}+2c^{2})^{2}}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
<=> VT $\geq $ $\frac{36}{9+3}=3\geq a+b+c$
=> $\frac{2a^{2}}{a+b^{2}}+\frac{2b^{2}}{b+c^{2}}+\frac{2c^{2}}{c+a^{2}}\geq a+b+c$ ( đpcm ) .