Lời giải Bài 3 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 1 năm 2017 của trường THPT chuyên Sư Phạm Hà Nội.
Lời giải bài 3 :
Đề bài :
Cho tam giác ABC không tù, có đường cao AH và tia phân giác trong BD của $\widehat{ABC}$ cắt nhau tại E ($H\in BC;D\in AC$ ) sao cho AE = 2EH và BD = 2AE. Chứng minh rằng tam giác ADE đều.
Hướng dẫn giải chi tiết :
Ta có BE là phân giác của $\triangle ABH$ nên $\frac{EH}{EA}=\frac{BH}{BA}$
Mà AE = 2EH ( gt) => $\frac{EH}{2EH}=\frac{BH}{BA}=\frac{1}{2}$
Xét $\triangle ABH$ có : $\cos \widehat{B}=\frac{BH}{BA}=\frac{1}{2}=>\widehat{B}=60^{\circ} $
=> $\widehat{EBH}=\widehat{EBA}=\widehat{EAB}=30^{\circ} $
$\widehat{BEH}=\widehat{AED}=60^{\circ} $ (1)
=> $\triangle ABE$ cân tại E => AE = BE .
Mà BD = 2AE (gt) => AE = DE => $\triangle ADE$ cân. (2)
Từ (1), (2) => $\triangle ADE$ đều (đpcm ).