Lời giải Bài 2 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 2 năm 2017 của trường THPT chuyên TP HCM.
Lời giải bài 2 :
Đề bài :
Cho parabol (P) : $y=x^{2}$ và đường thẳng (d) : $y=2(m-1)x+m^{2}+2m$ ( m là tham số , $m\in N$ )
a. Tìm m để (d) đi qua điểm I (1 ; 3 ).
b. Chứng minh rằng parabol (P) luôn cắt (d) tại 2 điểm phân biệt A , B .
Gọi x1 , x2 là hoành độ hai điểm A, B , tìm m sao cho : $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+6x_{1}x_{2}> 2016$
Hướng dẫn giải chi tiết :
a. Để (d) đi qua điểm I (1 ; 3 ) <=> $3=2(m-1)+m^{2}+2m<=> m^{2}+4m-5=0$
<=> Hoặc m = 1 hoặc m = - 5 .
Vậy khi m = 1 hoặc m = -5 thì (d) đi qua điểm I (1 ; 3 ).
b. Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) :
$x^{2}=2(m-1)x+m^{2}+2m$
<=> $x^{2}-2(m-1)x-m^{2}-2m=0$
Ta có : $\Delta {}'=2m^{1}+1> 0 , \forall m\in R$
=> (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt A , B . (đpcm)
Theo định lý Vi-et , ta có : $\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=2(m-1) & \\ x_{1}.x_{2}=-m^{2}-2m & \end{matrix}\right.$
Theo bài ra : $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+6x_{1}x_{2}> 2016$
<=> $(x_{1}+x_{2})^{2}+4x_{1}x_{2}> 2016$
<=> $(x_{1}+x_{2})^{2}+4x_{1}x_{2}> 2016$
<=> $m<\frac{-503}{4}$
Vậy khi $m<\frac{-503}{4}$ thì $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+6x_{1}x_{2}> 2016$ .