Xét hai trường hợp:
Nếu $x+y\geq 0$ thì $\left | x+y\right |=x+y \leq \left | x\right |+\left | y\right |$ (vì $x \leq \left | x \right |$ với mọi số thực x)
Nếu x + y < 0 thì $\left |x+y \right |=-x-y \leq \left |-x \right |+\left | -y \right |=\left | x \right |+\left | y \right |$.
Vậy với mọi $x, y\in R$, ta luôn có $\left | x+y \right |\leq \left | x\right |+\left | y \right |$.