Giải câu 8 đề 1 ôn thi toán lớp 9 lên 10

Giải câu 8 đề 1 ôn thi toán lớp 9 lên 10.

a. Xét tứ giác BEDC có:

$\mathrm{\angle }BEC={90}^0(doCE\perp AB)$

$\mathrm{\angle }BDC={90}^0(doBD\perp AC)$

Suy ra $\mathrm{\angle }BEC=\mathrm{\angle }BDC({90}^0)$ nên tứ giác BEDC có hai đỉnh E, D kề nhau cùng nhìn cạnh BC dưới các góc vuông, do đó tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp.

b. Xét tam giác ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H nên H là trực tâm tam giác ABC hay $AH\perp BC$ ó$AF\perp BC$

Xét tam giác EBC vuông tại E có $\mathrm{\angle }EBC+\mathrm{\angle }BCE={90}^0$ (1)

Xét tam giác AFB vuông tại F có $\mathrm{\angle }FBA+\mathrm{\angle }BAF={90}^0$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\mathrm{\angle }BCE=\mathrm{\angle }BAK$ (3) (cùng phụ với $\mathrm{\angle }ABF$)

Mà theo câu a ta có tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp nên $\mathrm{\angle }BDE=\mathrm{\angle }BCE$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\mathrm{\angle }BDE=\mathrm{\angle }BAK$(*)

Xét đường tròn (O) có $\mathrm{\angle }BAK=\mathrm{\angle }BJK$ (**) (hai góc nội tieeos cùng chắn cung BK)

Từ (*) và (**) ta suy ra $\mathrm{\angle }BJK=\mathrm{\angle }BDE$ (đpcm)

c.

Xét tam giác BDJ và tam giác BID có:

$\mathrm{\angle }BJK=\mathrm{\angle }BDE$ (cmt)

$\mathrm{\angle }DBJ$ chung

$\mathrm{\Delta }BDJ\sim \mathrm{\Delta }BID(g.g)\Rightarrow \frac{BD}{BI}=\frac{BJ}{BD}\Rightarrow BI.BJ=B{D}^2$

Lại có $B{D}^2=BL.BA$ (cmt)

$\Rightarrow BL.BA=BI.BJ\Rightarrow \frac{BL}{BJ}=\frac{BI}{BA}$

Xét tam giác BLI và tam giác BJA có:

$\frac{BL}{BI}=\frac{BI}{BA}$ (cmt)

$\mathrm{\angle }ABJ$ chung

=> $\mathrm{\Delta }BLI\sim \mathrm{\Delta }BJA(c.g.c)$

$\Rightarrow \mathrm{\angle }BLI=\mathrm{\angle }BIA$ (hai góc tương ứng)

=> Tứ giác ALIJ là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc goài bằng hóc trong tại đỉnh đối diện.

Tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp (cmt) $\Rightarrow \mathrm{\angle }AED=\mathrm{\angle }BJA$ (6)

Từ (5) và (6) $\Rightarrow \mathrm{\angle }BLI=\mathrm{\angle }AED$ hay $\mathrm{\angle }ELI=\mathrm{\angle }LEI\Rightarrow \mathrm{\Delta }ILD$ cân tại I => IL = ID.

Ta có:

$\mathrm{\angle }ILD={90}^0$

$\mathrm{\angle }IDL={90}^0$

$\Rightarrow \mathrm{\angle }ILD=\mathrm{\angle }IDL\Rightarrow \mathrm{\Delta }ILD$ cân tại I => IL = ID

Vậy IE = ID => I là trung điểm của ED (dpcm)