Giải câu 8 đề 1 ôn thi toán lớp 9 lên 10.

a. Xét tứ giác BEDC có:

BEC=900(doCEAB)

BDC=900(doBDAC)

Suy ra BEC=BDC(900) nên tứ giác BEDC có hai đỉnh E, D kề nhau cùng nhìn cạnh BC dưới các góc vuông, do đó tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp.

b. Xét tam giác ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H nên H là trực tâm tam giác ABC hay AHBC óAFBC

Xét tam giác EBC vuông tại E có EBC+BCE=900 (1)

Xét tam giác AFB vuông tại F có FBA+BAF=900 (2)

Từ (1) và (2) suy ra BCE=BAK (3) (cùng phụ với ABF)

Mà theo câu a ta có tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp nên BDE=BCE (4)

Từ (3) và (4) suy ra BDE=BAK(*)

Xét đường tròn (O) có BAK=BJK (**) (hai góc nội tieeos cùng chắn cung BK)

Từ (*) và (**) ta suy ra BJK=BDE (đpcm)

c.

Xét tam giác BDJ và tam giác BID có:

BJK=BDE (cmt)

DBJ chung

ΔBDJΔBID(g.g)BDBI=BJBDBI.BJ=BD2

Lại có BD2=BL.BA (cmt)

BL.BA=BI.BJBLBJ=BIBA

Xét tam giác BLI và tam giác BJA có:

BLBI=BIBA (cmt)

ABJ chung

=> ΔBLIΔBJA(c.g.c)

BLI=BIA (hai góc tương ứng)

=> Tứ giác ALIJ là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc goài bằng hóc trong tại đỉnh đối diện.

Tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp (cmt) AED=BJA (6)

Từ (5) và (6) BLI=AED hay ELI=LEIΔILD cân tại I => IL = ID.

Ta có:

ILD=900

IDL=900

ILD=IDLΔILD cân tại I => IL = ID

Vậy IE = ID => I là trung điểm của ED (dpcm)