Giải câu 8 bài Ôn tập cuối năm.
- Các bước của phương pháp chứng minh quy nạp:
- Bước 1: Chứng minh bài toán đúng với \(n = 1\)
- Bước 2: Giả thuyết bài toán đúng với \(n = k\) (gọi là giả thiết quy nạp)
- Bước 3. Chứng minh bài toán đúng v4ới \(n = k + 1\)
Khi đó kết luận bài toán đúng với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\)
- Ví dụ: Chứng minh rằng: với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\) ta có:
\({1} + {3} + {5} + ... + {2n-1} = n^2(1)\)
Giải
- Khi \(n = 1\), vế trái chỉ có một số hạng bằng 1, vế phải bằng $1^2$. Vậy hệ thức (1) đúng.
- Đặt vế trái bằng $S_n$
- Giả sử (1) đúng khi \(n = k\geq 1\), tức là:
\(S_k=1+3+5+...+(2k-1) =k^2\)(giả thiết quy nạp)
- Ta chứng minh (1) đúng khi \(n = k + 1\), tức là phải chứng minh:
\(S_{k+1}=1+3+5+...+(2k-1) +[(2(k+1)-1]=(k+1)^2\)
- Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:
\(S_{k+1}=S_k+[(2(k+1)-1]=k^2+2k+1=(k+1)^2\)
- Vậy (1) đúng khi \(n = k + 1\).
Kết luận: (1) đúng với \(n\in {\mathbb N}^*\)