Giải câu 8 bài Ôn tập cuối năm

• Các bước của phương pháp chứng minh quy nạp:
• Bước 1: Chứng minh bài toán đúng với $n=1$
• Bước 2: Giả thuyết bài toán đúng với $n=k$  (gọi là giả thiết quy nạp)
• Bước 3. Chứng minh bài toán đúng v4ới $n=k+1$

Khi đó kết luận bài toán đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

• Ví dụ: Chứng minh rằng: với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ ta có:

 $1+3+5+...+2n-1=n^2(1)$

Giải

• Khi $n=1$, vế trái chỉ có một số hạng bằng 1, vế phải bằng $1^2$. Vậy hệ thức (1) đúng.
• Đặt vế trái bằng $S_n$
• Giả sử (1) đúng khi $n=k\ge 1$, tức là:

 $S_k=1+3+5+...+(2k-1)=k^2$(giả thiết quy nạp)

• Ta chứng minh (1) đúng khi $n=k+1$, tức là phải chứng minh:

 $S_{k+1}=1+3+5+...+(2k-1)+[(2(k+1)-1]=(k+1{)}^2$

• Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

$S_{k+1}=S_k+[(2(k+1)-1]=k^2+2k+1=(k+1{)}^2$

• Vậy (1) đúng khi $n=k+1$.

Kết luận: (1) đúng với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$