Giải câu 7 bài vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

a. Giả sử đường đi của tàu A là (d₁) $\Rightarrow$ (d₁): $\{\begin{array}{rl}& x=3-33t\\ & y=-4+25t\end{array}$ ; đường đi của tàu A là (d₂)

$\Rightarrow$ (d₂): $\{\begin{array}{rl}& x=4-30t\\ & y=3-40t\end{array}$

$\Rightarrow \overrightarrow{u_{d_1}}=(-33;25);\overrightarrow{u_{d_2}}=(-30;-40)$

$\cos (\overrightarrow{u_{d_1},}\overrightarrow{u_{d_1}})=\frac{|-33.(-30)+25.(-40)|}{\sqrt{{(-33)}^2+{25}^2}.\sqrt{{(-30)}^2+{(-40)}^2}}=\frac{1990}{2070,024154}\approx 0,96$

b. Kể từ thời điểm xuất phát hai tàu gần nhất, khi hai tàu gặp nhau.

Phương trình tham số của (d₁): $\{\begin{array}{rl}& x=3-33t\\ & y=-4+25t\end{array}$ 

$\Rightarrow$ Phương trình tổng quát $(d_1):\text{ 25x+33y+57=0}$

Phương trình tham số của (d₂): $\{\begin{array}{rl}& x=4-30t\\ & y=3-40t\end{array}$

$\Rightarrow$ Phương trình tổng quát $(d_2):\text{ 40x-30y-70=0}$

Xét phương trình tọa độ giao điểm của $d_1$ và $d_2$ có: 

$\{\begin{array}{rl}& \text{25x+33y+57=0}\\ & \text{40x-30y-70=0}\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{rl}& x=\frac{20}{69}\\ & y=\frac{-403}{207}\end{array}$

Thay vào phương trình tham số của (d₁) ta được $\{\begin{array}{rl}& \frac{20}{69}=3-33.t\\ & \frac{-403}{207}=-4+25t\end{array}$

$\iff t=\frac{17}{207}=\frac{340}{69}\approx 4,93$ (phút)

Vậy hai tàu gần nhất sau khi xuất phát khoảng 4,93 phút.

c. Khi tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu $\Rightarrow$ A(3;-4). Khi đó khoảng cách ngắn nhất giữa tàu A và tàu B = d(A; (d₂))

Vì  (d₂): $\{\begin{array}{rl}& x=4-30t\\ & y=3-40t\end{array}$ $\Rightarrow$ (d₂) qua B(4; 3), nhận vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_{d_2}}=(40;-30)$

$\Rightarrow$ Phương trình tổng quát của (d): $40(x-4)-30(y-3)=0$ hay (d): $40x-30y-70=0$

$d(A;d_2)=\frac{|40.3-30.(-4)-70|}{\sqrt{{40}^2+{(-30)}^2}}=\frac{170}{50}=3,4$

Vậy khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng 3,4 cm.