Giải câu 7 bài vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

a. Giả sử đường đi của tàu A là (d₁) $\Rightarrow$ (d₁): $\left\{ \begin{align}& x=3-33t \\ & y=-4+25t \\\end{align} \right.$ ; đường đi của tàu A là (d₂)

$\Rightarrow$ (d₂): $\left\{ \begin{align}& x=4-30t \\ & y=3-40t \\\end{align} \right.$

$\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}}=(-33;25);\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}}=(-30;-40)$

$\cos (\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}},}\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}})=\frac{\left| -33.(-30)+25.(-40) \right|}{\sqrt{{{(-33)}^{2}}+{{25}^{2}}}.\sqrt{{{(-30)}^{2}}+{{(-40)}^{2}}}}=\frac{1990}{2070,024154}\approx 0,96$

b. Kể từ thời điểm xuất phát hai tàu gần nhất, khi hai tàu gặp nhau.

Phương trình tham số của (d₁): $\left\{ \begin{align}& x=3-33t \\ & y=-4+25t \\\end{align} \right.$ 

$\Rightarrow$ Phương trình tổng quát $\text{ }({{d}_{1}}):\text{ 25x+33y+57=0}$

Phương trình tham số của (d₂): $\left\{ \begin{align}& x=4-30t \\ & y=3-40t \\\end{align} \right.$

$\Rightarrow$ Phương trình tổng quát $\text{ }({{d}_{2}}):\text{ 40x-30y-70=0}$

Xét phương trình tọa độ giao điểm của ${d}_{1}$ và ${d}_{2}$ có: 

$\left\{ \begin{align}& \text{25x+33y+57=0} \\ & \text{40x-30y-70=0} \\\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=\frac{20}{69} \\ & y=\frac{-403}{207} \\\end{align} \right.$

Thay vào phương trình tham số của (d₁) ta được $\left\{ \begin{align}& \frac{20}{69}=3-33.t \\ & \frac{-403}{207}=-4+25t \\\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow t=\frac{17}{207}=\frac{340}{69}\approx 4,93$ (phút)

Vậy hai tàu gần nhất sau khi xuất phát khoảng 4,93 phút.

c. Khi tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu $\Rightarrow$ A(3;-4). Khi đó khoảng cách ngắn nhất giữa tàu A và tàu B = d(A; (d₂))

Vì  (d₂): $\left\{ \begin{align}& x=4-30t \\ & y=3-40t \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow$ (d₂) qua B(4; 3), nhận vecto pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{{{d}_{2}}}}}=(40;-30)$

$\Rightarrow$ Phương trình tổng quát của (d): $40(x-4) -30(y-3) = 0$ hay (d): $40x-30y -70 = 0$

$d(A;{{d}_{2}})=\frac{\left| 40.3-30.(-4)-70 \right|}{\sqrt{{{40}^{2}}+{{(-30)}^{2}}}}=\frac{170}{50}=3,4$

Vậy khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng 3,4 cm.