a. Phương trình đường tròn có tâm I(-2; 4) và bán kính R = 4 là:
$(x + 2)^{2} + (y - 4)^{2} = 16$
b. Ta có R = IA = $\sqrt{(4 - 1)^{2} + (5 - 2)^{2}}$ = $3\sqrt{2}$
Phương trình đường tròn có tâm I(1; 2) và bán kính R = $3\sqrt{2}$ là:
$(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 18$
c. Phương trình đường tròn tâm I(a; b) có dạng: $x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0$
Vì I(a; b) thuộc đường thẳng 4x + y - 16 = 0 và các điểm A(4; 1), B(6; 5) thuộc đường tròn nên ta có hệ phương trình sau:
$\left\{\begin{matrix}4a + b - 16 = 0\\4^{2} + 1^{2} - 8a-2b +c = 0\\ 6^{2} + 5^{2} - 12a - 10b + c = 0\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}4a + b - 16 = 0\\ 8a+2b -c = 17\\ 12a + 10b - c = 61\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}a = 3\\b = 4 \\ c = 15\end{matrix}\right.$
Vậy phương trình đường tròn là: $x^{2} + y^{2} - 6x - 8y + 15 = 0$
d. Phương trình đường tròn (C) tâm I(m; n) có dạng: $x^{2} + y^{2} - 2mx - 2ny + c = 0$
Vì O(0;0) $\in$ (C) nên thay tọa độ O(0; 0) vào (C) ta được c = 0
Vì (C) cắt trục hoành tại điểm có tọa độ (a; 0) và cắt trục tung tại điểm có tọa độ (0; b) nên ta có:
$\left\{\begin{matrix}a^{2} - 2ma = 0\\b^{2} - 2nb = 0\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} m = \frac{a}{2}\\n = \frac{b}{2}\end{matrix}\right.$ (vì a $\neq$ 0, b$\neq$ 0)
Vậy phương trình đường tròn (C) là: $x^{2} + y^{2} - ax - by = 0$