Giải câu 6 trang 122 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1.
a, Ta có tam giác AKC thuộc đường tròn (O) có đường kính AC
=> Tam giác AKC vuông tại K
=> $\widehat{BKA}=90^{0}$
=> B, K, A cùng thuộc đường tròn đường kính BA (1)
Lại có BO $\perp $ AD tại H => $\widehat{BHA}=90^{0}$
=> B, H, A cùng thuộc đường tròn đường kính BA (2)
Từ (1) và (2) suy ra B, H, A, K cùng thuộc đường tròn đường kính BA (đpcm)
b, Xét tam giác OAD cân tại O (do OA = OD = R) có OB vuông góc với AD
=> OB là đường trung trực của cạnh AD (tính chất tam giác cân)
=> AB = BD (tính chất đường trung trực)
+ Xét tam giác ABO và DBO có:
- AB = BD
- AO = OD (= bán kính của đường tròn)
- BO chung
=> $\Delta $ABO = $\Delta $DBO (c - c -c )
=> $\widehat{BDO}=\widehat{BAO}=90^{0}$
=> BD $\perp $ OD
Suy ra BD là tiếp tuyến của đường tròn (O) (đpcm).
c, Xét tam giác vuông BOD có HD là đường cao
=> BH.BO = BD$^{2}$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (3)
+ Xét tam giác BDK và tam giác BCD có:
- Góc CBD chung
- $\widehat{BDK}=\widehat{BCD}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung DK)
=> $\Delta $ABO $\sim $ $\Delta $DBO (g-g)
=> $\frac{BD}{BC}=\frac{BK}{BD}$ => BK.BC = BD$^{2}$ (4)
Từ (3) và (4) suy ra: BH.BO = BK.BC (đpcm)
d, Xét tam giác BEF và tam giác CEA có:
- $\widehat{ABM}=\widehat{ACE}$ (cùng phụ với góc BEC)
- $\widehat{CAE}=\widehat{BAM}=90^{0}$
=> $\Delta $BEF $\sim $ $\Delta $CEA (g-g)
=> $\frac{AM}{AE}=\frac{AB}{AC}$ => AB.AE =AM.AC (*)
Xét tam giác BOE vuông tại O có AO là đường cao:
=> AB.AE = AO$^{2}$ (**)
Từ (*) và (**) => AO$^{2}$ = AM.AC <=> AO$^{2}$ = 2AO.AM <=> 2AM = AO
Mà có AM + MO = AO => MO = AO - AM = 2AM - AM = AM
Vậy AM = MO (đpcm)