Giải câu 5 trang 98 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1.

a, I là hình chiếu của O trên CD => OI $\perp $ CD

Tam giác OCD cân tại O (OC = OD) có OI là đường cao => OI là trung tuyến 

=> IC = ID hay I là trung điểm của CD.

b, AH $\perp $ CD; BK $\perp $ CD; OI $\perp $ CD

=> AH // BK // OI

=>  AHKB là hình thang vuông

+ Hình thanh vuông AHKB có:

  • OI // AH // BK
  • O là trung điểm của AB

=> I là trung điểm của HK (Định lí đường trung bình của hình thang)

c,

Giải câu 5 trang 98 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của C và D trên AB.

+ CM $\perp $ AB và  DN $\perp $ AB

=> CM // DN

+ Tứ giác CMND có CM // DN => CMND là hình thang

+ T là hình chiếu của I trên AB => IT $\perp $ AB

=> IT // CM // DN

+ Hình thang CMND có:

  • I là trung điểm của CD
  • IT // CM // DN

=> IT là đường trung bình của hình thang

=> IT = $\frac{CM+DN}{2}$ <=> CM + DN = 2.IT

+ Ta có: SACB = $\frac{1}{2}$.CM.AB và SADB = $\frac{1}{2}$.DN.AB

=> SACB + SADB = $\frac{1}{2}$.CM.AB + $\frac{1}{2}$.DN.AB = $\frac{1}{2}$.AB.(CM + DN) = $\frac{1}{2}$.AB.2.IT = AB.IT

=> SACB + SADB = AB.IT (đpcm)

d, Qua I kẻ đường thẳng d song song với AB cắt AH tại E và BK tại F

+ Xét tam giác IEH và tam giác IFK có:

  • IH = IK ( I là trung diểm của HK)
  • $\widehat{IHE}=\widehat{IKF}=90^{0}$
  • $\widehat{EIH}=\widehat{FIK}$ (hai góc đối đỉnh)

=> $\Delta $IEH = $\Delta $ IFK (g - c - g)

=> SIEH = SIFK

+ Ta có: SAHKB = SAHIFB + SIFK  và SAEFB = SAHIFB + SIEH

=> SAHKB = SAEFB

+ Tứ giác AEFB có AE // BF và AB // EF => AEFB là hình bình hành => SAEFB = IT.AB

=> SAHKB = IT.AB 

+ Ta có: $IT\leq OI$ => $SAHKB \leq OI.AB$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi IT = OI hay OI $\perp $ AB khi đó CD // AB

Vậy để diện tích tứ giác AHKB là lớn nhất thì dây CD // AB.