Giải câu 5 trang 98 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1.

a, I là hình chiếu của O trên CD => OI  CD

Tam giác OCD cân tại O (OC = OD) có OI là đường cao => OI là trung tuyến 

=> IC = ID hay I là trung điểm của CD.

b, AH CD; BK CD; OI CD

=> AH // BK // OI

=>  AHKB là hình thang vuông

+ Hình thanh vuông AHKB có:

  • OI // AH // BK
  • O là trung điểm của AB

=> I là trung điểm của HK (Định lí đường trung bình của hình thang)

c,

Giải câu 5 trang 98 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của C và D trên AB.

+ CM AB và  DN AB

=> CM // DN

+ Tứ giác CMND có CM // DN => CMND là hình thang

+ T là hình chiếu của I trên AB => IT  AB

=> IT // CM // DN

+ Hình thang CMND có:

  • I là trung điểm của CD
  • IT // CM // DN

=> IT là đường trung bình của hình thang

=> IT = CM+DN2 <=> CM + DN = 2.IT

+ Ta có: SACB = 12.CM.AB và SADB = 12.DN.AB

=> SACB + SADB = 12.CM.AB + 12.DN.AB = 12.AB.(CM + DN) = 12.AB.2.IT = AB.IT

=> SACB + SADB = AB.IT (đpcm)

d, Qua I kẻ đường thẳng d song song với AB cắt AH tại E và BK tại F

+ Xét tam giác IEH và tam giác IFK có:

  • IH = IK ( I là trung diểm của HK)
  • IHE^=IKF^=900
  • EIH^=FIK^ (hai góc đối đỉnh)

=> ΔIEH = Δ IFK (g - c - g)

=> SIEH = SIFK

+ Ta có: SAHKB = SAHIFB + SIFK  và SAEFB = SAHIFB + SIEH

=> SAHKB = SAEFB

+ Tứ giác AEFB có AE // BF và AB // EF => AEFB là hình bình hành => SAEFB = IT.AB

=> SAHKB = IT.AB 

+ Ta có: ITOI => $SAHKB \leq OI.AB$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi IT = OI hay OI AB khi đó CD // AB

Vậy để diện tích tứ giác AHKB là lớn nhất thì dây CD // AB.