Giải câu 5 bài ôn tập chương 3: Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Giải câu 5 bài ôn tập chương 3: Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân.

a) Với $n = 1$ , ta có:

$13^{1} - 1 = 13 - 1 = 12 ⋮ 6$

Giả sử: $(13^{k} - 1) ⋮ 6$ với mọi $k \geq 1$

Ta chứng minh: $13^{k + 1} - 1$ chia hết cho $6$

Thật vậy:

$13^{k + 1} - 1 = 13^{k + 1} - 13^{k} + 13^{k} - 1 = {12.13}^{k} + 13^{k} - 1$

Vì : ${12.13}^{k} ⋮ 6$ và $(13^{k} - 1) ⋮ 6$ (theo giả thiết quy nạp)

$\Rightarrow (13^{k + 1} - 1) ⋮ 6$

Vậy $(13^{n} - 1)$ chia hết cho 6

b) Với $n = 1$ , ta có: ${3.1}^{3} + 15.1 = 18 ⋮ 9$

Giả sử: $(3 k^{3} + 15 k) ⋮ 9$ .

Ta chứng minh: $[3 (k + 1)^{3} + 15 (k + 1)] ⋮ 9$

Thật vậy:

$3 {(k + 1)}^{3} + 15 (k + 1)$

$= 3. (k^{3} + 3 k^{2} + 3 k + 1) + 15 (k + 1)$

$= 3 k^{3} + 9 k^{2} + 9 k + 15 k + 18$

$= 3 k^{3} + 15 k + 9 (k^{2} + k + 2)$

Vì $(3 k^{3} + 15 k) ⋮ 9$ (theo giả thiết quy nạp) và $9 (k^{2} + k + 2) ⋮ 9$

$\Rightarrow [3 (k + 1)^{3} + 15 (k + 1)] ⋮ 9$

Vậy: $3 n^{3} + 15 n$ chia hết cho 9 với mọi $n \in N^{*}$