Giải Câu 5 Bài 5: Khoảng cách

Giải Câu 5 Bài 5: Khoảng cách.

a) Có $B^{\prime }{A}^{\prime }=B^{\prime }B=B^{\prime }{C}^{\prime }\Rightarrow B^{\prime }$ thuộc trục của tam giác $A^{\prime }B{C}^{\prime }$.          (1)

$D{A}^{\prime }=DB=D{C}^{\prime }$ (đường chéo các hình vuông bằng nhau) $\Rightarrow D$ cũng thuộc trục của tam giác $A^{\prime }B{C}^{\prime }$   (2)

Từ (1) và (2) suy ra $B^{\prime }D$ thuộc trục của $(A^{\prime }B{C}^{\prime })$

$\Rightarrow B^{\prime }D$ vuông góc với $(A^{\prime }B{C}^{\prime })$. 

b) Chứng minh tương tự ta được $B^{\prime }D\mathrm{\perp }(AC{D}^{\prime })$

Hai mặt phẳng $(B{A}^{\prime }{C}^{\prime })$ và $(AC{D}^{\prime })$ cùng vuông góc với $B^{\prime }D$ (tại $I$ và $H$) nên chúng song song với nhau và khoảng cách giữa chúng bằng $IH$.  

Ta có:

$O^{\prime }I//D^{\prime }H$, $O^{\prime }$ là trung điểm của $B^{\prime }{D}^{\prime }$ nên theo định lí Ta lét thì $I$ là trung điểm của $B^{\prime }H$ hay $I{B}^{\prime }=IH$  (3)

$OH//IB$, $O$ là trung điểm của $BD$ nên theo định lí Ta lét thì $H$ là trung điểm của $DI$ hay $HI=HD$  (4)

Từ (3) và (4) suy ra: $IH=\frac{B^{\prime }D}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

c) $B{C}^{\prime }\subset (B{A}^{\prime }{C}^{\prime })$; $C{D}^{\prime }\subset (AC{D}^{\prime })$, mà hai mặt phẳng này song song

Do đó, $d(B{C}^{\prime },C{D}^{\prime })=d((B{A}^{\prime }{C}^{\prime }),(AC{D}^{\prime }))=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$

(Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó).