Giải câu 4 trang 114 toán VNEN 8 tập 1.
a) E là trung điểm AD => DE = EA = a
- Tứ giác ABCE có: BC // AE và BC = AE = a => ABCE là hình bình hành
- Mà BC = AB = a => ABCE là hình thoi.
=> CE = CB = a (Tính chất của hình thoi). (1)
- Chứng minh tương tự có tứ giác BCDE là hình thoi => BE = BC = a. (2)
- Từ (1) và (2) => CE = BE (= BC = a)
- Xét tam giác CEB có CE = CB = EB = a => $\Delta $CEB đều => $\widehat{CEB}=\widehat{CBE}=\widehat{ECB}=60^{0}$
- Xét tam giác CDE có CD = CE = DE = a => $\Delta $CDE đều => $\widehat{CDE}=\widehat{CED}=\widehat{ECD}=60^{0}$
- Tương tự ta có $\Delta $BEA đều (BE = AB = EA = a) => $\widehat{BEA}=\widehat{BAE}=\widehat{EBA}=60^{0}$
=> Số đo các góc của hình thang:
$\widehat{CDA}=\widehat{BAE}= 60^{0}$;
$\widehat{DCB}=\widehat{ABC}=\widehat{ECB}+\widehat{ECD}= 60^{0}+ 60^{0}= 120^{0}$
b) Theo chứng minh ở phần a ta có: Tứ giác ABCE và BCDE là hình thoi.
c) ABCE là hình thoi có AC là đường chéo => AC là tia phân giác của góc BAE => $\widehat{BAC}=\widehat{EAC}=30^{0}$
Xét tam giác ACD có: $\widehat{DAC}+\widehat{ACD}+\widehat{CDE}=180^{0}$
=> $\widehat{ACD}=180^{0}-\widehat{DAC}-\widehat{CDE}=180^{0}-30^{0}-60^{0}=90^{0}$
=> Tam giác ACD vuông tại C.
Chứng minh tương tự ta được tam giác ABD vuông tại B.
d) M là trung điểm của AE, N là trung điểm của ED => NE = EM = $\frac{a}{2}$ => NM = a => NM = BC (= a)
Tứ giác CBMN có: NM = BC và NM // BC => CBNM là hình bình hành.
Ta có tam giác CDE là tam giác đều (chứng minh phần a) => CN là đường trung tuyến => CN cũng là đường phân giác của góc DCE
=> $\widehat{DCN}=\widehat{NCE}=\frac{\widehat{ECD}}{2}=30^{0}$
Xét tam giác ECN có: $\widehat{ECN}+\widehat{CNE}+\widehat{NEC}=180^{0}$
=> $\widehat{CNE}=180^{0}-\widehat{ECN}-\widehat{NEC}=180^{0}-30^{0}-60^{0}=90^{0}$
Hình bình hành CBNM có $\widehat{CNE}=90^{0}$ (có một góc vuông)=> CBMN là hình chữ nhật