Giải câu 4 trang 114 toán VNEN 8 tập 1

Giải câu 4 trang 114 toán VNEN 8 tập 1.

a) E là trung điểm AD => DE = EA = a

- Tứ giác ABCE có: BC // AE và BC = AE = a => ABCE là hình bình hành 

- Mà BC = AB = a => ABCE là hình thoi.

=> CE = CB = a (Tính chất của hình thoi). (1)

- Chứng minh tương tự có tứ giác BCDE là hình thoi => BE = BC = a. (2)

- Từ (1) và (2) => CE = BE (= BC = a)

- Xét tam giác CEB có CE = CB = EB = a => $\mathrm{\Delta }$CEB đều => $\widehat{CEB}=\widehat{CBE}=\widehat{ECB}={60}^0$

- Xét tam giác CDE có CD = CE = DE = a => $\mathrm{\Delta }$CDE đều => $\widehat{CDE}=\widehat{CED}=\widehat{ECD}={60}^0$

- Tương tự ta có $\mathrm{\Delta }$BEA đều (BE = AB = EA = a) => $\widehat{BEA}=\widehat{BAE}=\widehat{EBA}={60}^0$

=> Số đo các góc của hình thang:

$\widehat{CDA}=\widehat{BAE}={60}^0$;

$\widehat{DCB}=\widehat{ABC}=\widehat{ECB}+\widehat{ECD}={60}^0+{60}^0={120}^0$

b) Theo chứng minh ở phần a ta có: Tứ giác ABCE và BCDE là hình thoi.

c) ABCE là hình thoi có AC là đường chéo => AC là tia phân giác của góc BAE => $\widehat{BAC}=\widehat{EAC}={30}^0$

Xét tam giác ACD có: $\widehat{DAC}+\widehat{ACD}+\widehat{CDE}={180}^0$

=> $\widehat{ACD}={180}^0-\widehat{DAC}-\widehat{CDE}={180}^0-{30}^0-{60}^0={90}^0$

=> Tam giác ACD vuông tại C.

Chứng minh tương tự ta được tam giác ABD vuông tại B.

d) M là trung điểm của AE, N là trung điểm của ED => NE = EM = $\frac{a}{2}$ => NM = a => NM = BC (= a)

Tứ giác CBMN có: NM = BC và NM // BC => CBNM là hình bình hành. 

Ta có tam giác CDE là tam giác đều (chứng minh phần a) => CN là đường trung tuyến => CN cũng là đường phân giác của góc DCE

=> $\widehat{DCN}=\widehat{NCE}=\frac{\widehat{ECD}}{2}={30}^0$

Xét tam giác ECN có: $\widehat{ECN}+\widehat{CNE}+\widehat{NEC}={180}^0$ 

=> $\widehat{CNE}={180}^0-\widehat{ECN}-\widehat{NEC}={180}^0-{30}^0-{60}^0={90}^0$ 

Hình bình hành CBNM có $\widehat{CNE}={90}^0$ (có một góc vuông)=> CBMN là hình chữ nhật