Giải câu 4 đề 18 ôn thi toán lớp 9 lên 10

Giải câu 4 đề 18 ôn thi toán lớp 9 lên 10.

Hình vẽ:

a. 

Ta có: $\widehat{ACB}={90}^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) => AC vuông góc BC hay AC vuông góc BD.

Ta có: $\widehat{DAB}={90}^0$ (Do DA là tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại A)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABD vuông tại A có đường cao AC ta có: $A{D}^2=DC.DB$

b. 

Xét tứ giác AHCD có AHD=ACD=${90}^0$ => Hai đỉnh C và H kề nhau cùng nhìn cạnh AD dưới góc ${90}^0$ => Tứ giác AHCD nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

c. Do tứ giác AHCD nội tiếp nên$\widehat{FHC}$ = $\widehat{ADC}$ (cùng bù với $\widehat{AHC}$)

Xét tam giác FHC và tam giác ADC có:

$\widehat{CFH}$ = $\widehat{DAC}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC)

$\widehat{FHC}$ = $\widehat{ADC}$ (cmt).

=> $\mathrm{\Delta }FHC\sim \mathrm{\Delta }FCH(g.g)\Rightarrow FCH=ACD$ (hai góc tương ứng)

Mà $$\widehat{ACD}$={90}^0\Rightarrow$\widehat{FCH}$={90}^0\Rightarrow CH\perp CF$

d. Xét tam giác vuông OAD vuông tại A có OH là đường cao ta có $O{A}^2=OD.OH$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Mà $OA=OB=R\Rightarrow O{B}^2=OD.OH\Rightarrow \frac{OB}{OH}=\frac{OD}{OB}$

Xét tam giác OBH và ODB có:

$\widehat{BOD}$ chung;

$\frac{OB}{OH}=\frac{OD}{OB}$ (cmt)

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }OBH\sim \mathrm{\Delta }ODB(c.g.c)\Rightarrow \widehat{OBH}=\widehat{ODB}$

Mà $\widehat{ODB}=\widehat{CAF}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CH của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHCD).

 

$\widehat{CAF}=\widehat{CBF}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CF của đường tròn (O)).

=> $\widehat{OBH}=\widehat{CBF}=>\widehat{OBH}+\widehat{HBC}=\widehat{CBF}+\widehat{HBC}=>\widehat{OBC}=\widehat{HBF}=\widehat{ABC}$

Xét tam giác BHF và tam giác BAC có:

$\widehat{BFH}=\widehat{BCA}={90}^0$ (góc BFC nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).

$\widehat{HBF}=\widehat{ABC}$ (cmt);

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }BFH\sim \mathrm{\Delta }BCA(g-g)\Rightarrow \frac{BF}{BC}=\frac{BH}{BA}\Rightarrow \frac{BH.BC}{BF}=BA=2R$