Giải câu 37 Bài: Luyện tập sgk Toán 9 tập 2 Trang 126

Giải câu 37 Bài: Luyện tập sgk Toán 9 tập 2 Trang 126.

a) - Ta có $OM$, $ON$ lần lượt là tia phân giác của $\widehat{AOP}$ và $\widehat{BOP}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà $\widehat{AOP}$ kề bù $\widehat{BOP}$ nên suy ra $OM$ vuông góc với $ON$. (tính chất 2 tiếp tuyến của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau)

Vậy $∆MON$ vuông tại $O$ => $\widehat{MON}={90}^{\circ }$

- Ta có: Tứ giác $AOPM$ nội tiếp một đường tròn vì có $\widehat{MAP}$ + $\widehat{MPO}$ = ${180}^0$ (2 góc vuông do Ax và MP là 2 tiếp tuyến của (O) tại A và P).  => $\widehat{PMO}$ = $\widehat{PAO}$ (cùng chắn cung $OP$ trong đường tròn đường kính OM).

Xét hai tam giác $MON$ và $APB$ có:

$\widehat{MON}=\widehat{APB}(={90}^{\circ })$

 $\widehat{PMO}$ = $\widehat{PAO}$  (cmt)

=> $\mathrm{\Delta }MON\sim \mathrm{\Delta }APB$ (g.g)

b)Ta có: $AM=MP,BN=NP$ (1) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) 

Tam giác vuông $MON$ có $OP$ là đường cao nên: $MP.PN=O{P}^2$ (Hệ thúc lượng trong tam giác vuông)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AM.BN=O{P}^2=R^2$

c) Ta có: $\mathrm{\Delta }MON\sim \mathrm{\Delta }APB$ (cmt)

=> $\frac{MN}{AB}=\frac{OM}{AP}=\frac{ON}{PB}$ (các cạnh tương ứng tỉ lệ) (3)

Ta có: $S_{MON}=\frac{1}{2}.OM.ON$

         $S_{APN}=\frac{1}{2}.AP.PB$

=> $\frac{S_{MON}}{S_{APN}}=\frac{OM.ON}{AP.PB}=\frac{OM}{AP}.\frac{ON}{PB}$

Thay (3) vào ta có: $\frac{S_{MON}}{S_{APN}}=(\frac{MN}{AB}{)}^2=\frac{M{N}^2}{A{B}^2}$

Khi $AM$ = $\frac{R}{2}$ thì từ $AM.BN=R^2$ suy ra $BN=2R$

Do đó $MN=MP+PN=AM+BN$ = $\frac{R}{2}$ + $2R$ =  $\frac{5R}{2}$

Suy ra $M{N}^2$ = $\frac{25R^2}{4}$

Vậy $\frac{S_{MON}}{S_{APB}}$ = $\frac{\frac{25R^2}{4}}{(2R{)}^2}=\frac{25}{16}$

d) Nửa hình tròn $APB$ quay quanh đường kính $AB=2R$ sinh ra một hình cầu có bán kính $R$.

Vậy thể tích hình câu được sinh ra là: $V$ =  $\frac{4}{3}$$\pi R^3$