a. Có: M(2;0) là trung điểm của BC => ${{x}_{B}}+{{x}_{C}}=2.2=4;{{y}_{B}}+{{y}_{C}}=2.0=0$ (1)
N (4;2) là trung điểm của CA => ${{x}_{A}}+{{x}_{C}}=2.4=8;{{y}_{A}}+{{y}_{C}}=2.2=4$ (2)
P(1;3) là trung điểm của AB => ${{x}_{A}}+{{x}_{B}}=2.1=2;{{y}_{A}}+{{y}_{B}}=2.3=6$ (3)
(2) - (1) ta được: ${{x}_{A}} - {{x}_{B}}= 4 ; {{y}_{A}} - {{y}_{B}} = 4$ (4)
(3) + (4) ta được: ${{x}_{A}} = 3$; ${{y}_{A}} =5$ thay vào (4) được:
${{x}_{B}} = -1$; ${{y}_{B}} =1$ thay vào (1) được:
${{x}_{C}} = 5$; ${{y}_{C}} =-1$
b. Gọi G; G' lần lượt là trọng tâm hai tam giác ABC và MNP
$\Rightarrow$ ${{x}_{G}}=\frac{3-1+5}{3};{{y}_{G}}=\frac{5+1-1}{3}$
$\Rightarrow$ $G\left( \frac{7}{3};\frac{5}{3} \right)$ (i)
${{x}_{G'}}=\frac{2+4+1}{3};{{y}_{G'}}=\frac{5+1-1}{3}$
$\Rightarrow$ $G'\left( \frac{7}{3};\frac{5}{3} \right)$ (ii)
Từ (i) và (ii) $\Rightarrow$ Trọng tâm G của tam giác ABC và trọng tâm G' của tam giác MNP trùng nhau.