Giải câu 2 trang 34 sách toán VNEN lớp 8 tập 2

Giải câu 2 trang 34 sách toán VNEN lớp 8 tập 2.

a) Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho cặp số (1 ; 1) và (a; b)ta có:

( $1^{2}$ + $1^{2}$ )( $a^{2}$ + $b^{2}$ ) $\geq$ $(1. a + 1. b)^{2}$ = $(a + b)^{2}$

Dấu bằng xảy ra khi a = b.

Vậy 2( $a^{2}$ + $b^{2}$ ) $\geq$ $(a + b)^{2}$

b) Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho cặp số (1; 1) và ( $a^{2}$ ; $b^{2}$ ) ta có:

( $1^{2}$ + $1^{2}$ )( $a^{4}$ + $b^{4}$ ) $\geq$ $(1. a^{2} + 1. b^{2})^{2}$ = $(a^{2} + b^{2})^{2}$

Theo câu a: 2( $a^{2}$ + $b^{2}$ ) $\geq$ $(a + b)^{2}$ $\Leftrightarrow$ $a^{2}$ + $b^{2}$ $\geq$ $\frac{(a + b)^{2}}{2}$

$\Rightarrow$ 2( $a^{4}$ + $b^{4}$ ) $\geq$ $\frac{(a + b)^{4}}{4}$ = $\frac{2^{4}}{4}$ = 4

$\Rightarrow$ ( $a^{4}$ + $b^{4}$ ) $\geq$ 2.