Giải câu 2 trang 34 sách toán VNEN lớp 8 tập 2.
a) Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho cặp số (1 ; 1) và (a; b)ta có:
($1^{2}$ + $1^{2}$)($a^{2}$ + $b^{2}$) $\geq $ $(1.a + 1.b)^{2}$ = $(a + b)^{2}$
Dấu bằng xảy ra khi a = b.
Vậy 2($a^{2}$ + $b^{2}$) $\geq $ $(a + b)^{2}$
b) Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho cặp số (1; 1) và ($a^{2}$; $b^{2}$) ta có:
($1^{2}$ + $1^{2}$)($a^{4}$ + $b^{4}$) $\geq $ $(1.a^{2} + 1.b^{2})^{2}$ = $(a^{2} + b^{2})^{2}$
Theo câu a: 2($a^{2}$ + $b^{2}$) $\geq $ $(a + b)^{2}$ $\Leftrightarrow $ $a^{2}$ + $b^{2}$ $\geq $ $\frac{(a + b)^{2}}{2}$
$\Rightarrow $ 2($a^{4}$ + $b^{4}$) $\geq $ $\frac{(a + b)^{4}}{4}$ = $\frac{2^{4}}{4}$ = 4
$\Rightarrow $ ($a^{4}$ + $b^{4}$) $\geq $ 2.