a. Parabol $y=a x^{2}+b x+4$ đi qua điểm $M(1 ; 12)$ và $N(-3 ; 4)$ nên ta có:
$\left\{\begin{array}{l}a.1^{2}+b.1+4=12 \\ a .(-3)^{2}+b .(-3)+4=4\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=6\end{array}\right.$
Vậy parabol là $y=2 x^{2}+6 x+4$
b. Ta có: $\frac{-b}{2 a}=-3 \Leftrightarrow b=6 a$ (1)
Thay tọa độ $I(-3 ;-5)$ vào $y=a x^{2}+b x+4$ ta được:
$a . (-3)^2 + b . (-3) + 4=-5 $
$\Leftrightarrow$ $3a-b=-3$ (2)
Từ (1) và (2) ta được: $\left\{\begin{array}{l}b = 6 a \\ 3 a - b = - 3\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}b = 6 \\ a=1\end{array}\right.$
Vậy parabol là $y=x^{2}+6 x+4$.