Giải câu 2 bài 1: Phương pháp quy nạp toán học.
a) Đặt Sn = n3 + 3n2 + 5n
Với n = 1 thì S1 = 9 chia hết cho 3
Giả sử với n = k ≥ 1, có Sk = (k3 + 3k2 + 5k) \( \vdots\) 3
Xét với n = k + 1
Sk+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1)
= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5
= k3 + 3k2 + 5k + 3k2 + 9k + 9
hay Sk+1 = Sk + 3(k2 + 3k + 3)
mà Sk \( \vdots\) 3, 3(k2 + 3k + 3) \( \vdots\) 3 nên Sk+1 \( \vdots\) 3.
Vậy (n3 + 3n2 + 5n) \( \vdots\) 3 với mọi n ε N* .
b) Đặt Sn = 4n + 15n - 1
Với n = 1, thì S1 \( \vdots\) 9
Giả sử với n = k ≥ 1 có Sk= 4k + 15k - 1 chia hết cho 9.
Xét với n = k + 1
Sk+1 = 4k + 1 + 15(k + 1) – 1
= 4(4k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4Sk – 9(5k – 2)
mà Sk \( \vdots\) 9 và 9(5k - 2) \( \vdots\) 9 => Sk+1 \( \vdots\) 9
Vậy (4n + 15n - 1) \( \vdots\) 9 với mọi n ε N*
c) Đặt Sn = n3 + 11n
Với n = 1 thì S1 \( \vdots\) 6
Giả sử với n = k ≥ 1 có Sk = k3 + 11k \( \vdots\) 6
Xét với n = k + 1 ta có:
Sk+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) = k3 + 3k + 3k + 1 + 11k + 11
= ( k3 + 11k) + 3(k2 + k + 4) = Sk + 3(k2 + k + 4)
mà Sk \( \vdots\) 6, mặt khác k2 + k + 4 = k(k + 1) + 1 là số chẵn nên 3(k2 + k + 4) \( \vdots\) 6 => Sk+1 \( \vdots\) 6
Vậy n3 + 11n chia hết cho 6 với mọi n ε N* .