Giải câu 14 bài: Luyện tập sgk Toán Hình 9 tập 1 Trang 77.
Xét $\triangle ABC $ vuông tại A , $\widehat{B}=\alpha $ , ta có :
- $\sin \alpha =\frac{AC}{BC}$
- $\cos \alpha =\frac{AB}{BC}$
- $\tan \alpha =\frac{AC}{AB}$
- $\cot \alpha =\frac{AB}{AC}$
a.
Ta có : $\tan \alpha =\frac{AC}{AB}=\frac{\frac{AC}{BC}}{\frac{AB}{BC}}=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$
=> $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ ( đpcm )
=> $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}=\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$ ( đpcm )
Và : $\tan \alpha .\cot \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }.\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=1$ ( đpcm )
b.
Ta có : $\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =\left ( \frac{AC}{BC} \right )^{2}+\left ( \frac{AB}{BC}\right)^{2}$ = $\frac{AC^{2}}{BC^{2}}+\frac{AB^{2}}{BC^{2}}=\frac{AC^{2}+AB^{2}}{BC^{2}}$
Xét $\triangle ABC $ vuông tại A , có : $AC^{2}+AB^{2}=BC^{2}$
=> $\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$ ( đpcm ).