Giải câu 12 bài Ôn tập cuối năm.
- Cấp số nhân vô hạn $(u_{n})$có công bội q, với |q|<1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
- Cho cấp số nhân lùi vô hạn $(u_{n})$có công bội q. Khi đó:
$S_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+...+u_{n}=\frac{u_{1}(1-q^{n}}{1-q}=\frac{u_{1}}{1-q}-\left ( \frac{u_{1}}{1-q} \right ).q^{n}$
Vì |q|<1 nên $lim q^{n}=0$. Từ đó ta có:
$lim S_{n}=lim \left [ \frac{u_{1}}{1-q}-\left ( \frac{u_{1}}{1-q} \right ).q^{n} \right ]=\frac{u_{1}}{1-q}$
Giới hạn này được gọi là tổng của cấp số nhân lùi cô hạn $(u_{n})$ và được kí hiệu là $S=u_{1}+u_{2}+u_{3}+...+u_{n}+....$
Như vậy: $S=\frac{u_{1}}{1-q}; |q|<1$