Giải câu 12 bài Ôn tập cuối năm

Giải câu 12 bài Ôn tập cuối năm.

Cấp số nhân vô hạn $(u_{n})$ có công bội q, với |q|<1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Cho cấp số nhân lùi vô hạn $(u_{n})$ có công bội q. Khi đó:

$S_{n} = u_{1} + u_{2} + u_{3} + . . . + u_{n} = \frac{u_{1} (1 - q^{n}}{1 - q} = \frac{u_{1}}{1 - q} - (\frac{u_{1}}{1 - q}) . q^{n}$

Vì |q|<1 nên $l i m q^{n} = 0$ . Từ đó ta có:

$l i m S_{n} = l i m [\frac{u_{1}}{1 - q} - (\frac{u_{1}}{1 - q}) . q^{n}] = \frac{u_{1}}{1 - q}$

Giới hạn này được gọi là tổng của cấp số nhân lùi cô hạn $(u_{n})$ và được kí hiệu là $S = u_{1} + u_{2} + u_{3} + . . . + u_{n} + . . . .$

Như vậy: $S = \frac{u_{1}}{1 - q}; | q | < 1$