A(0;4) ; ${{F}_{1}}(-3;0)$ ; ${{F}_{2}}(3;0)$.
$\overrightarrow{A{{F}_{1}}}=(-3;-4)$ ; $\overrightarrow{A{{F}_{2}}}=(3;-4)$
a. Đường thẳng $A{{F}_{1}}$ qua A(0;4) và nhận ${{\overrightarrow{n}}_{A{{F}_{1}}}}=(4;-3)$ làm vecto pháp tuyến
$\Rightarrow$ Phương trình tổng quát của $A{{F}_{1}}$ là: 4(x-0)-3(y-4)=0
hay ($A{{F}_{1}}$) : 4x-3y+12=0
Đường thẳng $A{{F}_{2}}$ qua A(0;4) và nhận ${{\overrightarrow{n}}_{A{{F}_{2}}}}=(4;3)$ làm vecto pháp tuyến
$\Rightarrow$ Phương trình tổng quát của $A{{F}_{2}}$ là: 4(x-0)+3(y-4)=0
hay ($A{{F}_{1}}$) : 4x+3y-12=0
b. Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp của tam giác $A{{F}_{1}}{{F}_{2}}$.
Giả sử tâm đường tròn là I(a;b). Ta có IA = IF1 = IF2
$\Leftrightarrow I{{A}^{2}}=I{{F}_{1}}^{2}=I{{F}_{2}}^{2}$
$\Leftrightarrow I{{A}^{2}}=I{{F}_{1}}^{2},I{{F}_{1}}^{2}=I{{F}_{2}}^{2}$ nên:
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{\left( 0-a \right)}^{2}}+{{\left( 4-b \right)}^{2}}={{\left( -3-a \right)}^{2}}+{{\left( 0-b \right)}^{2}} \\ & {{\left( -3-a \right)}^{2}}+{{\left( 0-b \right)}^{2}}={{\left( 3-a \right)}^{2}}+{{\left( 0-b \right)}^{2}} \\\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{a}^{2}}+16-8b+{{b}^{2}}=9+6a+{{a}^{2}}+{{b}^{2}} \\ & {{\left( -3-a \right)}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( 3-a \right)}^{2}}+{{b}^{2}} \\\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 6a+8b=7 \\& a=0 \\\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a=\frac{7}{8} \\& b=0 \\ \end{align} \right.$
Đường tròn tâm $I\left( \frac{7}{8};0 \right)$, bán kính $R=IA=\sqrt{{{\left( 0-\frac{7}{8} \right)}^{2}}+{{\left( 2-0 \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{305}}{8}$
Phương trình đường tròn là: ${{\left( x-\frac{7}{8} \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=\frac{305}{64}$
c. (E) có hai tiêu điểm là ${{F}_{1}}(-3;0)$; ${{F}_{2}}(3;0)$ sao cho (E) đi qua A.
Phương trình chính tắc của (E) có dạng:
$\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a>b>0)$
Vì (E) đi qua A(0;4) $\Rightarrow$ $\frac{{{0}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{4}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$
hay ${{b}^{2}}=4$
mà ${{c}^{2}}=3^{2} =9$
$\Rightarrow$ ${{a}^{2}}= {{b}^{2}} + {{c}^{2}} = 4 + 9 =13$
Vậy (E): $\frac{{{x}^{2}}}{13}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1$