Giải câu 11 bài tập cuối chương VII

A(0;4) ; $F_1(-3;0)$ ; $F_2(3;0)$.

$\overrightarrow{A{F}_1}=(-3;-4)$ ; $\overrightarrow{A{F}_2}=(3;-4)$

a. Đường thẳng $A{F}_1$ qua A(0;4) và nhận ${\overrightarrow{n}}_{A{F}_1}=(4;-3)$ làm vecto pháp tuyến

$\Rightarrow$ Phương trình tổng quát của $A{F}_1$ là: 4(x-0)-3(y-4)=0

hay ($A{F}_1$) : 4x-3y+12=0

Đường thẳng $A{F}_2$ qua A(0;4) và nhận ${\overrightarrow{n}}_{A{F}_2}=(4;3)$ làm vecto pháp tuyến

$\Rightarrow$ Phương trình tổng quát của $A{F}_2$ là: 4(x-0)+3(y-4)=0

hay ($A{F}_1$) : 4x+3y-12=0

b. Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp của tam giác $A{F}_1{F}_2$.

Giả sử tâm đường tròn là I(a;b). Ta có IA = IF₁ = IF₂

$\iff I{A}^2=I{F_1}^2=I{F_2}^2$

$\iff I{A}^2=I{F_1}^2,I{F_1}^2=I{F_2}^2$ nên:

$\iff \{\begin{array}{rl}& {(0-a)}^2+{(4-b)}^2={(-3-a)}^2+{(0-b)}^2\\ & {(-3-a)}^2+{(0-b)}^2={(3-a)}^2+{(0-b)}^2\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{rl}& a^2+16-8b+b^2=9+6a+a^2+b^2\\ & {(-3-a)}^2+b^2={(3-a)}^2+b^2\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{rl}& 6a+8b=7\\ & a=0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{rl}& a=\frac{7}{8}\\ & b=0\end{array}$

Đường tròn tâm $I(\frac{7}{8};0)$, bán kính $R=IA=\sqrt{{(0-\frac{7}{8})}^2+{(2-0)}^2}=\frac{\sqrt{305}}{8}$

Phương trình đường tròn là: ${(x-\frac{7}{8})}^2+y^2=\frac{305}{64}$

c. (E) có hai tiêu điểm là $F_1(-3;0)$; $F_2(3;0)$ sao cho (E) đi qua A.

Phương trình chính tắc của (E) có dạng:  

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$

Vì (E) đi qua A(0;4) $\Rightarrow$ $\frac{0^2}{a^2}+\frac{4^2}{b^2}=1$

hay $b^2=4$

mà $c^2=3^2=9$ 

$\Rightarrow$ $a^2=b^2+c^2=4+9=13$

Vậy (E): $\frac{x^2}{13}+\frac{y^2}{4}=1$