a. Lúc 14h30 phút => Máy bay bay được t = 30 phút = $\frac{1}{2}$ giờ $\Rightarrow$ Tọa độ của máy bay khi đó là:
$\left\{ \begin{align}& x=\frac{1600}{3}-\frac{1400}{3}.\frac{1}{2}=300<500 \\& y=\frac{1900}{3}-\frac{1400}{3}.\frac{1}{2}=400<500 \\\end{align} \right.$
$\Rightarrow$ Thời điểm này máy bay đẫ xuất hiện trên màn hình ra đa.
b. Gọi H là chân đường cao kẻ từ O đến đường thẳng (d): $\left\{ \begin{align}& x=\frac{1600}{3}-\frac{1400}{3}t \\ & y=\frac{1900}{3}-\frac{1400}{3}t \\\end{align} \right.$
$\Rightarrow$ $H\left( \frac{1600}{3}-\frac{1400}{3}t;\frac{1900}{3}-\frac{1400}{3}t \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{OH}=\left( \frac{1600}{3}-\frac{1400}{3}t;\frac{1900}{3}-\frac{1400}{3}t \right)$
$\overrightarrow{OH}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0$
$\left( \frac{1600}{3}-\frac{1400}{3}t \right).\left( \frac{-1400}{3} \right)+\left( \frac{1900}{3}-\frac{1400}{3}t \right).\left( \frac{-1400}{3} \right)=0$
$\frac{3920000}{9}t=\frac{4900000}{9}$
$t=\frac{5}{4}=1,25$ = 1 giờ 15 phút
Vậy máy bay gần đài kiểm soát không lưu nhất lúc: 14 giờ + 1 giờ 15 phút = 15h15 phút.
Khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu lúc đó là:
$\left| \overrightarrow{OH} \right|=\sqrt{{{\left( \frac{1600}{3}-\frac{1400}{3}.1,25 \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1900}{3}-\frac{1400}{3}.1,25 \right)}^{2}}}=50\sqrt{2}$
c. Gọi $M\left( \frac{1600}{3}-\frac{1400}{3}t;\frac{1900}{3}-\frac{1400}{3}t \right)$ là vị trí máy bay ra khỏi màn hình ra đa.
$\Rightarrow$ $\left| \overrightarrow{OM} \right|=\sqrt{{{\left( \frac{1600}{3}-\frac{1400}{3}.t \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1900}{3}-\frac{1400}{3}.t \right)}^{2}}}>500$. Khi đó ta có:
$\sqrt{\frac{3920000}{9}{{t}^{2}}-\frac{9800000}{9}t+\frac{6170000}{9}}>500$
$\frac{3920000}{9}{{t}^{2}}-\frac{9800000}{9}t+\frac{6170000}{9}>250000$
$\frac{3920000}{9}{{t}^{2}}-\frac{9800000}{9}t+\frac{3920000}{9}>0$
$\left[ \begin{align}& t<\frac{25-3\sqrt{65}}{2} \\ & t>\frac{25+3\sqrt{65}}{2} \\\end{align} \right.$