Giải câu 11 bài ôn tập chương 4: Bất đẳng thức, bất phương trình sgk Đại số 10 trang 107.
a) Ta có
\(f(x) = {x^4} - {x^2} + 6x - 9 = {\left( {{x^2}} \right)^2} - {\left( {x - 3} \right)^2} = \left( {{x^2} + x - 3} \right)\left( {{x^2} - x + 3} \right)\)
Ta lại có \({{x^2} - x + 3} > 0, ∀x ∈\mathbb R\) ( vì \(a = 1> 0, Δ = 1- 4.3<0\))
\(\Rightarrow f(x)\)cùng dấu với \(x^2+x-3\)
Tam thức \(x^2+x-3\)có hai nghiệm là \(\frac{-1-\sqrt {13}}{2}; \frac{-1+\sqrt {13}}{2}\)
Vậy
- \(f(x)>0\)khi \(x < {{ - 1 - \sqrt {13} } \over 2}\)hoặc \(x > {{ - 1 + \sqrt {13} } \over 2}\)
- \(f(x)<0\)khi \(\frac{-1-\sqrt {13}}{2} < x < \frac{-1+\sqrt {13}}{2}\)
\(g(x) = x^2– 2x - {4 \over {{x^2} - 2x}}\)
\(={{{{({x^2} - 2x)}^2} - {2^2}} \over {{x^2} - 2x}}\)
\(= {{({x^2} - 2x + 2)({x^2} - 2x - 2)} \over {{x^2} - 2x}}\)
Ta lại có \(x^2– 2x + 2 > 0 ,∀x ∈\mathbb R\)
\(\Rightarrow g(x)\)cùng dấu với \({{{x^2} - 2x - 2} \over {{x^2} - 2x}}\)
Tam thức \(x^2-2x-2\)có hai nghiệm là \(1-\sqrt 3; 1+\sqrt 3\)
\(x^2-2x\)có hai nghiệm là \(x; 2\)
Ta lập bảng xét dấu
Vậy
- \(g(x)>0\)khi \(x \in \left ( -\infty ;1-\sqrt{3} \right )\cup \left ( 0;2 \right )\cup \left ( 1+\sqrt{3}; +\infty \right )\)
- \(g(x)>0\)khi \(x \in \left ( 1-\sqrt{3};0 \right )\cup \left ( 2; 1+ \sqrt{3} \right )\)
b) \(x({x^3} - x + 6) > 9 \)
\(\Leftrightarrow {x^4} - {x^2} + 6x - 9 > 0 \)
\(\Leftrightarrow {x^4} - {(x - 3)^2} > 0 \)
\(\Leftrightarrow ({x^2} - x + 3)({x^2} + x - 3) > 0\)
Ta có \({{x^2} - x + 3} > 0, ∀x ∈\mathbb R ( \text{vì} \,\,a = 1> 0, Δ = 1- 4.3<0)\)
\(\Rightarrow ({x^2} + x - 3) > 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{x < {{ - 1 - \sqrt {13} } \over 2} \hfill \cr x > {{ - 1 + \sqrt {13} } \over 2} \hfill \cr} \right.\)
Vậy nghiệm nguyên của bất phương trình là \(\left\{x\in \mathbb Z|x\le-3\text{ hoặc } x\ge2\right\}\)