Giải câu 1 trang 115 toán VNEN 9 tập 1.
a, AC nằm trên tiếp tuyến Ax của đường tròn tại A => AC $\perp $ AB
BD nằm trên tiếp tuyến By của đường tròn tại B => BD $\perp $ AB
=> AC // BD
Áp dụng định lí Ta-let cho tam giác ECA và tam giác EBD có AC // BD ta có:
$\frac{ED}{EA}=\frac{BD}{AC}$ (1)
+ DM và DB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D cả đường tròn => DB = MD (2)
+ AC và CM là 2 tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn => AC = CM (3)
+ Từ (1), (2) và (3) => $\frac{ED}{EA}=\frac{MD}{MC}$
=> Theo định lí Ta-lét đảo ta có ME // AC
+ ME // AC và AC $\perp $ AB => ME $\perp $ AB (đpcm)
b, ME // AC => MF // AC hay EF // AC
Áp dụng định lí Ta-let cho tam giác BCA có EF // CA ta có: $\frac{EF}{CA}=\frac{BE}{BC}$ (*)
Áp dụng định lí Ta-let cho tam giác DCA có ME // CA ta có: $\frac{ME}{CA}=\frac{DE}{DA}$ (**)
Mà $\frac{DE}{DA}=\frac{BE}{BC}$ (BD // AC) (***)
Từ (*), (**) và (***) => $\frac{EF}{CA}=\frac{ME}{CA}$ => EF = ME (đpcm)
c, Ta có: CM = CA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và CM = CA (bán kính của đường tròn)
=> CO là đường trung trực của AM => I là trung điểm của AM
Chứng minh tương tự có: OD là trung trực của BM => K là trung điểm của BM
+ Xét tam giác MAB có I là trung điểm của AM, K là trung điểm của BM => IK là đường trung bình của tam giác
=> IK // AB
+ Xét tam giác MAF có I là trung điểm của AM và E là trung điểm của AF (ME = EF)
=> IE là đường trung bình của tam giác => IE // AF hay IE // AB
+ IK // AB và IE // AB => ba điểm I, E, K thẳng hàng
=> Ba đường thẳng CB, AD và IK đồng quy tại điểm E.