a) Ta có: tam giác ABC cân tại A có đường trung tuyến AD, G là trọng tâm => GB = GC (1) và $AD\perp BC$
Xét tam giác vuông CDG và CDE ta có:
CD chung
DG = DE (gt)
Suy ra $\Delta CDG =\Delta CDE$ (hai cạnh góc vuông) => CG = CE (2)(hai cạnh tương ứng)
Tương tự ta có, $\Delta BDE=\Delta CDE$ (hai cạnh góc vuông) => BE = CE (3)
Từ (1) (2) (3) suy ra BG = GC = CE = BE.
b) Xét tam giác ABE và ACE ta có:
AB = AC
AE chung
BE = CE
Suy ra $\Delta ABE=\Delta ACE$ (c.c.c)
c) Nếu $CG = \frac{1}{2}AE$ thì $\widehat{ACE}=90^{\circ}$ (theo bài tập 75)
Mặt khác có CG = GE = CE nên $\widehat{GCE}=60^{\circ}$
Suy ra $\widehat{ACG}=30^{\circ}$. Do CD là tia phân giác của $\widehat{GCE}$ nên $\widehat{GCD}=30^{\circ}$.
Vì vậy $\widehat{ACB}=60^{\circ}$.
Vậy tam giác ABC đều.