a) Ta có: tam giác ABC cân tại A  có đường trung tuyến AD, G là trọng tâm => GB = GC (1) và $AD\perp BC$

Xét tam giác vuông CDG và CDE ta có:

CD chung

DG = DE (gt)

Suy ra $\Delta CDG =\Delta CDE$ (hai cạnh góc vuông) => CG = CE (2)(hai cạnh tương ứng)

Tương tự ta có, $\Delta BDE=\Delta CDE$ (hai cạnh góc vuông) => BE = CE (3)

Từ (1) (2) (3) suy ra BG = GC = CE = BE.

b) Xét tam giác ABE và ACE ta có:

AB = AC

AE chung

BE = CE

Suy ra $\Delta ABE=\Delta ACE$ (c.c.c)

c) Nếu $CG = \frac{1}{2}AE$ thì $\widehat{ACE}=90^{\circ}$ (theo bài tập 75)

Mặt khác có CG = GE = CE nên $\widehat{GCE}=60^{\circ}$

Suy ra $\widehat{ACG}=30^{\circ}$. Do CD là tia phân giác của $\widehat{GCE}$ nên $\widehat{GCD}=30^{\circ}$.

Vì vậy $\widehat{ACB}=60^{\circ}$.

Vậy tam giác ABC đều.