Giải bài 3 Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu

1. SỐ TRUNG BÌNH

Khám phá 1: Điểm số bài kiểm tra môn Toán của các bạn trong Tổ 1 là 6; 10; 6; 8; 7; 10, còn của các bạn Tổ 2 là 10; 6; 9; 9; 8; 9. Theo em, tổ nào có kết quả kiểm tra tốt hơn tại sao?

Hướng dẫn giải:

• Điểm trung bình của Tổ 1 là: $\frac{1}{6}$(6 + 10 + 6 + 8 + 7 + 10) $\approx$ 7,83
• Điểm trung bình của Tổ 2 là: $\frac{1}{6}$(10 + 6 + 9 + 9 + 8 + 9) = 8,5

=> Vậy kết quả kiểm tra của Tổ 2 tốt hơn.

Vận dụng 1: Thời gian chạy 100 mét (đơn vị: giây) của các bạn học sinh ở hai nhóm A và B được ghi lại ở bảng:

Nhóm nào có thành tích chạy tốt hơn?

Hướng dẫn giải:

• Số giây trung bình nhóm A chạy được là: $\frac{1}{8}$(12,2 + 13,5 + 12,7 + 13,1 + 12,5 + 12,9 + 13,2 + 12,8) = 12,8625 (s)
• Số giây trung bình nhóm B chạy được là: $\frac{1}{5}$(12,1 + 13,4 + 13,2 + 12,9 + 13,7) = 13,06 (s)

=> Vậy nhóm A có thành tích chạy tốt hơn.

Vận dụng 2: Số bàn thắng mà một đội bóng ghi được ở mỗi trận đấu trong một mùa giải được thống kê lại ở bảng sau:

Hãy xác định số bàn thắng trung bình đội đó ghi được trong một trận đấu của mùa giải.

Hướng dẫn giải:

Số bàn thắng trung bình đội đó ghi được trong một trận đấu của mùa giải là: $\frac{0+1+2+3+4+6}{5+10+5+3+2+1}$ $\approx$ 0,62 (bàn thắng).

2. TRUNG VỊ VÀ TỨ PHÂN VỊ

Khám phá 2: Bảng sau thống kê số sách mỗi bạn học sinh Tổ 1 và Tổ 2 đã đọc ở thư viện trường trong một tháng:

a. Trung bình mỗi bạn Tổ 1 và mỗi bạn Tổ 2 đọc bao nhiêu quyển sách ở thư viện trường trong tháng đó.

b. Em hãy thảo luận với các bạn trong nhóm xem tổ nào chăm đọc sách ở thư viện hơn.

Hướng dẫn giải:

a. Trung bình mỗi bạn Tổ 1 đọc được: $\frac{3+1+2+1+2+2+3+25+1}{9}$ $\approx$ 4,44(quyển sách)

Trung bình mỗi bạn Tổ 2 đọc được: $\frac{4+5+4+3+3+4+5+4}{8}$ = 4

b. Các bạn ở Tổ 2 đọc nhiều sách hơn các bạn ở Tổ 1.

Thực hành 1: Hãy tìm trung vị của các số liệu ở Vận dụng 1 và Vận dụng 2.

Hướng dẫn giải:

Sắp xếp số giây các bạn nhóm A chạy được theo thứ tự không giảm, ta được dãy: 

12,2; 12,5; 12,7; 12,8; 12,9; 13,1; 13,2; 13,5

Vì cỡ mẫu bằng 8 nên trung vị của nhóm A là trung bình cộng của số liệu thứ 4 và thứ 5 của dãy trên. Vậy $M_{e}$ = $\frac{1}{2}$(12,8 + 12,9) = 12,85

Sắp xếp số giây các bạn nhóm A chạy được theo thứ tự không giảm, ta được dãy: 12,1; 12,9; 13,2; 13,4; 13,7.

Vì cỡ mẫu bằng 5 nên trung vị của nhóm B là số liệu thứ 3 của dãy trên. Vậy $M_{e}$ = 13,2.

Cỡ mẫu bằng 26. Khi sắp xếp số bàn thắng theo thứ tự không giảm thì số liệu thứ 13 và 14 là 1; 1. Vậy $M_{e}$ = $\frac{1}{2}$(1+1) = 1.

Khám phá 3: Cân nặng của 20 vận động viên môn vật của một câu lạc bộ được ghi lại ở bảng sau:

Để thuận tiện cho việc luyện tập, ban huấn luyện muốn xếp 20 vận động viên trên thành 4 nhóm, mỗi nhóm gồm 25% số vận động viên có cân nặng gần nhau. Bạn hãy giúp ban huấn luyện xác định các ngưỡng cân nặng để phân nhóm mỗi vận động viên.

Hướng dẫn giải:

Sắp xếp số cân nặng theo theo thứ tự không giảm, ta được dãy:

50; 52; 52; 54; 54; 56; 56; 57; 58; 58; 59; 61; 61; 62; 64; 65; 66; 67; 68; 69

Vì cỡ mẫu là n = 20, là số chẵn, nên giá trị tứ phân vị thứ hai là $Q_{2}$ = $\frac{1}{2}$(58 + 59) = 58,5.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 50; 52; 52; 54; 54; 56; 56; 57; 58; 58. Do đó, $Q_{1}$ = $\frac{1}{2}$(54 + 56) = 55.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 59; 61; 61; 62; 64; 65; 66; 67; 68; 69. Do đó, $Q_{3}$ = $\frac{1}{2}$(64 + 65) = 64,5

Vậy các ngưỡng cân nặng để huấn luyện viên phân nhóm vận động viên là: 55; 58,5 và 64,5.

Thực hành 2: Hãy tìm tứ phân vị của các mẫu số liệu sau:

a. 10; 13; 15; 2; 10; 19; 2; 5; 7.

b. 15; 19; 10; 5; 9; 10; 1; 2; 5; 15

Hướng dẫn giải:

a. Sắp xếp lại mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 2; 2; 5; 7; 10; 10; 13; 15; 19.

Vì cỡ mẫu là n = 9, là số lẻ, nên giá trị tứ vị phân thứ hai là $Q_{2}$ = 10.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 2; 2; 5; 7. Do đó $Q_{1}$ = $\frac{1}{2}$(2 + 5) = 3,5.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 10; 13; 15; 19. Do đó $Q_{3}$ = $\frac{1}{2}$(13 + 15) = 14

b. Sắp xếp lại mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 1; 2; 5; 5; 9; 10; 10; 15; 15; 19.

Vì cỡ mẫu là n = 10, là số chẵn, nên giá trị tứ vị phân thứ hai là $Q_{2}$ = $\frac{1}{2}$(9 + 10) = 9,5.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 1; 2; 5; 5; 9. Do đó $Q_{1}$ = 5.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 10; 10; 15; 15; 19. Do đó $Q_{3} = 15.

3. MỐT

Khám phá 4: Một cửa hàng kinh doanh hoa thống kê số hoa hồng bán được trong ngày 14 tháng 2 theo loại hoa và thu được bảng tần số sau:

Cửa hàng nên nhập loại hoa nào nhiều nhất để bán trong ngày 14 tháng 2 năm tiếp theo? Tại sao?

Hướng dẫn giải:

Từ bảng ta thấy, số lượng hoa hồng nhung bán được nhiều nhất (230 bông). Do đó, cửa hàng nền nhập hoa hồng nhung để bán trong ngày 14 tháng 2 năm tiếp theo.

Thực hành 3: Hãy tìm mốt của số liệu điểm kiểm tra của các bạn Tổ 1 trong Khám phá 1.

Hướng dẫn giải:

Mẫu số liệu điểm kiểm tra của các bạn Tổ 1 có $M_{o}$ = 6; 10.